柱坐標系下時間分數階波擴散方程及分析.pdf

1、本論文主要研究了柱坐標系下的時間分數階波擴散方程的解析解及其分析，由彼此相關而又獨立的三章組成：第一章簡要介紹了分數階微積分的歷史、發(fā)展、定義和應用，以及文中用到的特殊函數的定義、性質和積分變換；第二章研究了柱坐標系下軸對稱時間分數階波擴散方程(FDWE)的解析解和一些特殊情況的分析；第三章討論了柱坐標系下非軸對稱FDWE的問題．
　　 第一章為預備知識，簡要介紹了本文所需要的數學工具.在§1.1節(jié)中，簡要介紹了分數階微積分的發(fā)

2、展歷史、基本概念及常用的分數階算子，包括了Riemann-Liouville（簡稱R-L）型和Caputo型分數階微積分算子的定義及基本性質．在§1.2節(jié)中，給出了兩類特殊函數即Bessel函數和Mittag-Leffler函數的定義和它們的基本性質，以及本文中用到的兩類積分變換定義和重要公式.在§1.3節(jié)中，簡要介紹了分數階微積分在幾個領域內的研究狀況和某些應用.本章是以后各章的基礎．
　　 第二章中，本文在前人研究的基礎上，

3、引入了在有界區(qū)域內柱坐標系下的時間分數階軸對稱有源項波擴散方程：
　　 不失普遍性,本文對方程引入了第三類齊次邊界條件和非齊次的初始條件．我們用積分變換的方法對方程進行求解，對空間變量r進行Hankel變換，對空間變量z進行三角變換，對時間項t用分數階Laplace變換，然后依次進行逆變換即可得到方程的理論解：
　　 在§2.3中，我們對方程的源項和初邊條件進行了討論.在情況I，我們在第一類齊次邊界條件下，用類似方法得到

4、了方程的解.對應于這個方程的解，我們假定F(r,z)=F0，g(r，z，t)=g0為常數下對方程的解進行討論，并且計算了當α=1，α=2，α→0時方程的解，然后對結果進行分析，作出不同α下的w(r,z，t)關于t的圖形．下面我們又對源項是δ型的瞵時源g(r，z，t)=g0δ(r-r0)δ(z-z0)δ+(t)和分離變量形式的源項g(r，z，t)=g1(r，z)tβ下對解進行討論，作出了在不同α下解的圖形.在情況II，我們在另一類邊界條件

5、下，用類似的方法得到方程的解析解，并且對解進行了討論，作出了關于不同α下解的圖形．最后與當α=1時經典的波動方程的解進行了對比．在§2.4中，我們對結果和圖形進行了討論和分析.
　　 第三章在第二章的基礎上考慮了柱坐標系下非軸對稱的時間分數階波擴散方方程：
　　 對每個變最r，φ，t分別用積分變換和逆變變換的方法，我們可以得到方程(3)的解為：
　　 在§3.3，我們在特殊的初始條件和邊界條件下對方程的解進行了討