最優(yōu)超飽和設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)的構(gòu)造.pdf

1、試驗(yàn)設(shè)計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要分支之一，它主要研究如何合理地安排試驗(yàn)，以便使人們更有效地探究某一系統(tǒng)的某些輸入變量和輸出變量之間的關(guān)系?？梢韵胍?jiàn)，試驗(yàn)設(shè)計(jì)具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，在生產(chǎn)和生活的各個(gè)方面，我們都會(huì)看到試驗(yàn)設(shè)計(jì)的身影。
　　 試驗(yàn)設(shè)計(jì)起源于統(tǒng)計(jì)學(xué)家ILA．Fisher于上世紀(jì)30年代在英國(guó)Rothamsed農(nóng)場(chǎng)的開(kāi)創(chuàng)性研究，至今已有80多年的歷史，這期間產(chǎn)生了試驗(yàn)設(shè)計(jì)的許多方法．近年來(lái)，試驗(yàn)設(shè)計(jì)的主要方法有：最優(yōu)設(shè)計(jì)、區(qū)組設(shè)計(jì)、

2、正交設(shè)計(jì)、超飽和設(shè)計(jì)、回歸設(shè)計(jì)、均勻設(shè)計(jì)、拉丁超立方設(shè)計(jì)體設(shè)計(jì)等。本論文主要研究超飽和設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)。
　　 超飽和設(shè)計(jì)是指那些試驗(yàn)次數(shù)不足以估計(jì)所有因子主效應(yīng)的設(shè)計(jì)，它要用于工程或科學(xué)試驗(yàn)的初期階段，用以篩選因子。在做具體的試驗(yàn)時(shí)，研究者往往會(huì)遇到這樣的情況，即影響試驗(yàn)結(jié)果的因素可能有很多，但真正起決定性作用的只有少數(shù)幾個(gè)，而試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)、條件等的限制又決定了試驗(yàn)次數(shù)不宜過(guò)多，此時(shí)超飽和設(shè)計(jì)無(wú)疑是最恰如其分的選擇。如今，人們已提出

3、不少關(guān)于度量超飽和設(shè)計(jì)優(yōu)良性的準(zhǔn)則，并且給出了很多構(gòu)造最優(yōu)超飽和設(shè)計(jì)的方法。比如E(FNOD)(Fang,Lin and Liu，2000，2003)準(zhǔn)則就是當(dāng)今度量超飽和設(shè)計(jì)優(yōu)良性的最常用的準(zhǔn)則之一，在E(FNOD)準(zhǔn)則下達(dá)到最優(yōu)的設(shè)計(jì)有兩類(lèi)，一類(lèi)叫等距設(shè)計(jì)，一類(lèi)叫弱等距設(shè)計(jì)．現(xiàn)有的文獻(xiàn)中對(duì)于如何構(gòu)造等距設(shè)計(jì)討論很多，但對(duì)于弱等距設(shè)計(jì)的討論相對(duì)較少。而本文的第二、三兩章則提出了一些實(shí)用的構(gòu)造等距與弱等距設(shè)計(jì)的方法。
　　 均勻

4、設(shè)計(jì)是指設(shè)計(jì)點(diǎn)均勻散布于給定的試驗(yàn)區(qū)域的設(shè)計(jì)，它是近代試驗(yàn)設(shè)計(jì)中另一種重要的設(shè)計(jì)，由方開(kāi)泰教授和王元院士在1978年共同提出。均勻設(shè)計(jì)不受模型的限制，也就是說(shuō)它相對(duì)模型穩(wěn)健，因此日趨受到人們的重視，如今已廣泛應(yīng)用于航天、化工、醫(yī)藥等各個(gè)領(lǐng)域。根據(jù)試驗(yàn)區(qū)域的形狀，均勻設(shè)計(jì)可以分為規(guī)則區(qū)域上的均勻設(shè)計(jì)，混料試驗(yàn)的均勻設(shè)計(jì)以及不規(guī)則區(qū)域上的均勻設(shè)計(jì)。而混料試驗(yàn)的試驗(yàn)區(qū)域其實(shí)也可以看做一個(gè)普通的不規(guī)則區(qū)域。目前的文章中，對(duì)于規(guī)則區(qū)域上的均勻設(shè)計(jì)

5、討論較多，而后兩種均勻設(shè)計(jì)由于其試驗(yàn)區(qū)域形狀相對(duì)復(fù)雜，所以研究較少。本文的四、五兩章主要就這后兩者展開(kāi)討論，分別提出了一種構(gòu)造混料試驗(yàn)均勻設(shè)計(jì)的方法以及一種構(gòu)造不規(guī)則區(qū)域上均勻設(shè)計(jì)的方法。
　　 下面簡(jiǎn)要介紹一下各章的內(nèi)容。
　　 第一章為引言。簡(jiǎn)要介紹試驗(yàn)設(shè)計(jì)的發(fā)展簡(jiǎn)史及現(xiàn)狀，超飽和設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)的概況等。
　　 第二章將Liu and Lin(2009)一文提出的最優(yōu)超飽和設(shè)計(jì)的構(gòu)造方法進(jìn)行了有效推廣，提出了

6、構(gòu)造最優(yōu)超飽和設(shè)計(jì)的三種新方法，并構(gòu)造了大量新的最優(yōu)設(shè)計(jì)。Liu andLin(2009)提出了一種構(gòu)造最優(yōu)混水平超飽和設(shè)計(jì)的方法，其主要思想是用一個(gè)較小的最優(yōu)多水平超飽和設(shè)計(jì)和一個(gè)轉(zhuǎn)置的正交表經(jīng)過(guò)一系列行與列的并置，從而構(gòu)造出一個(gè)更大的最優(yōu)超飽和設(shè)計(jì)。首先，本章把上述多水平超飽和設(shè)計(jì)用混水平超飽和設(shè)計(jì)替代，正交表用普通的差陣去取代，從而使此方法可以構(gòu)造出更多的E(fNOD)(Fang，Lin andLiu，2000，2003)準(zhǔn)則下最

7、優(yōu)的等距超飽和設(shè)計(jì)，然后本章又在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了兩個(gè)不同方向的推廣，從而得到兩種構(gòu)造最優(yōu)弱等距設(shè)計(jì)的方法。通過(guò)這三種新的方法可以構(gòu)造出大量的最優(yōu)超飽和設(shè)計(jì)。本章附錄將給出大量的新構(gòu)造的設(shè)計(jì)。
　　 第三章證明了對(duì)給定的試驗(yàn)數(shù)和水平數(shù)，最大平衡設(shè)計(jì)一定是等距設(shè)計(jì)，并進(jìn)而提出了構(gòu)造最優(yōu)超飽和設(shè)計(jì)的“補(bǔ)設(shè)計(jì)法”這一新方法，其中，最大平衡設(shè)計(jì)指的是對(duì)于給定的試驗(yàn)數(shù)和水平數(shù)，我們所能構(gòu)造出的擁有最大列數(shù)的設(shè)計(jì)。本章證明了一個(gè)最大平衡設(shè)計(jì)一定

8、是一個(gè)E(fNOD)準(zhǔn)則下最優(yōu)的等距超飽和設(shè)計(jì)，進(jìn)而，提出了一種新的方法，稱為補(bǔ)設(shè)計(jì)法，用以構(gòu)造E(fNOD)準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。此方法的主要思想是對(duì)于一個(gè)已經(jīng)存在的能夠達(dá)到E（fNOD）準(zhǔn)則下界的最優(yōu)設(shè)計(jì)，其所對(duì)應(yīng)的補(bǔ)設(shè)計(jì)一定也是E（fNOD）準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。此方法適用于任何多水平與混水平的情況，它提供了一種方便而有效的辦法用以構(gòu)造更多的最優(yōu)設(shè)計(jì)。某些新構(gòu)造的設(shè)計(jì)將在此章的例子中給出。
　　 第四章提出了構(gòu)造混料試驗(yàn)均勻設(shè)計(jì)的

9、一種新方法。此方法基于“由q個(gè)成分所組成的混料試驗(yàn)的試驗(yàn)區(qū)域必然是一個(gè)q-1維幾何體”這一理論基礎(chǔ)，將具有復(fù)雜約束混料試驗(yàn)的設(shè)計(jì)構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)換成了一般不規(guī)則區(qū)域上的設(shè)計(jì)構(gòu)造問(wèn)題?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)中，對(duì)于具有復(fù)雜約束的混料均勻設(shè)計(jì)討論較少，最近，Chuang and Hung(2010)提出了一種叫做中心復(fù)合偏差的準(zhǔn)則用以度量不規(guī)則區(qū)域上設(shè)計(jì)的均勻程度，并且建議使用交換算法去搜索中心復(fù)合偏差準(zhǔn)則下某不規(guī)則區(qū)域上的均勻設(shè)計(jì)。相比于窮盡式搜索，交換算

10、法可節(jié)省大量的時(shí)間，考慮到對(duì)于一個(gè)擁有q個(gè)成分以及一些其它限制的混料試驗(yàn)，其所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)區(qū)域其實(shí)是一個(gè)q-1維幾何體，本章提出了一種搜索混料試驗(yàn)均勻設(shè)計(jì)的方法，先把q成分的混料試驗(yàn)區(qū)域經(jīng)某一特定的映射變換到q-1維空間上去，然后使用Chuangand Hung(2010)提出的方法在該q-1維空間上搜索均勻設(shè)計(jì)，最后，通過(guò)相應(yīng)的逆映射把搜索到的設(shè)計(jì)變換回原來(lái)的位置。這里所提到的映射是由矩陣的QR分解得到的，它只能改變幾何體的位置，而不會(huì)

11、改變它的形狀。此方法具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。
　　 第五章提出了一種構(gòu)造不規(guī)則區(qū)域上均勻設(shè)計(jì)的方法。此方法是受到Borkowski andPiepel(2009)一文的啟發(fā)，其主要思想是，對(duì)于給定的試驗(yàn)次數(shù)n和試驗(yàn)區(qū)域Do，首先找到一個(gè)可以完全覆蓋Do的規(guī)則區(qū)域D，然后通過(guò)數(shù)論法在D上構(gòu)造許多試驗(yàn)次數(shù)大于n的設(shè)計(jì)，保留那些只有n個(gè)點(diǎn)落在Do上的設(shè)計(jì)，并在所有被保留的設(shè)計(jì)中選一個(gè)最好的。本章亦提供了此方法的理論基礎(chǔ)，并在計(jì)算機(jī)搜索步驟