最優(yōu)超飽和設計與均勻設計的構造.pdf

1、試驗設計是統(tǒng)計學的重要分支之一，它主要研究如何合理地安排試驗，以便使人們更有效地探究某一系統(tǒng)的某些輸入變量和輸出變量之間的關系?？梢韵胍?，試驗設計具有廣泛的應用價值，在生產(chǎn)和生活的各個方面，我們都會看到試驗設計的身影。
　　 試驗設計起源于統(tǒng)計學家ILA．Fisher于上世紀30年代在英國Rothamsed農(nóng)場的開創(chuàng)性研究，至今已有80多年的歷史，這期間產(chǎn)生了試驗設計的許多方法．近年來，試驗設計的主要方法有：最優(yōu)設計、區(qū)組設計、

2、正交設計、超飽和設計、回歸設計、均勻設計、拉丁超立方設計體設計等。本論文主要研究超飽和設計和均勻設計。
　　 超飽和設計是指那些試驗次數(shù)不足以估計所有因子主效應的設計，它要用于工程或科學試驗的初期階段，用以篩選因子。在做具體的試驗時，研究者往往會遇到這樣的情況，即影響試驗結果的因素可能有很多，但真正起決定性作用的只有少數(shù)幾個，而試驗經(jīng)費、條件等的限制又決定了試驗次數(shù)不宜過多，此時超飽和設計無疑是最恰如其分的選擇。如今，人們已提出

3、不少關于度量超飽和設計優(yōu)良性的準則，并且給出了很多構造最優(yōu)超飽和設計的方法。比如E(FNOD)(Fang,Lin and Liu，2000，2003)準則就是當今度量超飽和設計優(yōu)良性的最常用的準則之一，在E(FNOD)準則下達到最優(yōu)的設計有兩類，一類叫等距設計，一類叫弱等距設計．現(xiàn)有的文獻中對于如何構造等距設計討論很多，但對于弱等距設計的討論相對較少。而本文的第二、三兩章則提出了一些實用的構造等距與弱等距設計的方法。
　　 均勻

4、設計是指設計點均勻散布于給定的試驗區(qū)域的設計，它是近代試驗設計中另一種重要的設計，由方開泰教授和王元院士在1978年共同提出。均勻設計不受模型的限制，也就是說它相對模型穩(wěn)健，因此日趨受到人們的重視，如今已廣泛應用于航天、化工、醫(yī)藥等各個領域。根據(jù)試驗區(qū)域的形狀，均勻設計可以分為規(guī)則區(qū)域上的均勻設計，混料試驗的均勻設計以及不規(guī)則區(qū)域上的均勻設計。而混料試驗的試驗區(qū)域其實也可以看做一個普通的不規(guī)則區(qū)域。目前的文章中，對于規(guī)則區(qū)域上的均勻設計

5、討論較多，而后兩種均勻設計由于其試驗區(qū)域形狀相對復雜，所以研究較少。本文的四、五兩章主要就這后兩者展開討論，分別提出了一種構造混料試驗均勻設計的方法以及一種構造不規(guī)則區(qū)域上均勻設計的方法。
　　 下面簡要介紹一下各章的內(nèi)容。
　　 第一章為引言。簡要介紹試驗設計的發(fā)展簡史及現(xiàn)狀，超飽和設計與均勻設計的概況等。
　　 第二章將Liu and Lin(2009)一文提出的最優(yōu)超飽和設計的構造方法進行了有效推廣，提出了

6、構造最優(yōu)超飽和設計的三種新方法，并構造了大量新的最優(yōu)設計。Liu andLin(2009)提出了一種構造最優(yōu)混水平超飽和設計的方法，其主要思想是用一個較小的最優(yōu)多水平超飽和設計和一個轉置的正交表經(jīng)過一系列行與列的并置，從而構造出一個更大的最優(yōu)超飽和設計。首先，本章把上述多水平超飽和設計用混水平超飽和設計替代，正交表用普通的差陣去取代，從而使此方法可以構造出更多的E(fNOD)(Fang，Lin andLiu，2000，2003)準則下最

7、優(yōu)的等距超飽和設計，然后本章又在此基礎上進行了兩個不同方向的推廣，從而得到兩種構造最優(yōu)弱等距設計的方法。通過這三種新的方法可以構造出大量的最優(yōu)超飽和設計。本章附錄將給出大量的新構造的設計。
　　 第三章證明了對給定的試驗數(shù)和水平數(shù)，最大平衡設計一定是等距設計，并進而提出了構造最優(yōu)超飽和設計的“補設計法”這一新方法，其中，最大平衡設計指的是對于給定的試驗數(shù)和水平數(shù)，我們所能構造出的擁有最大列數(shù)的設計。本章證明了一個最大平衡設計一定

8、是一個E(fNOD)準則下最優(yōu)的等距超飽和設計，進而，提出了一種新的方法，稱為補設計法，用以構造E(fNOD)準則下的最優(yōu)設計。此方法的主要思想是對于一個已經(jīng)存在的能夠達到E（fNOD）準則下界的最優(yōu)設計，其所對應的補設計一定也是E（fNOD）準則下的最優(yōu)設計。此方法適用于任何多水平與混水平的情況，它提供了一種方便而有效的辦法用以構造更多的最優(yōu)設計。某些新構造的設計將在此章的例子中給出。
　　 第四章提出了構造混料試驗均勻設計的

9、一種新方法。此方法基于“由q個成分所組成的混料試驗的試驗區(qū)域必然是一個q-1維幾何體”這一理論基礎，將具有復雜約束混料試驗的設計構造問題轉換成了一般不規(guī)則區(qū)域上的設計構造問題?，F(xiàn)有的文獻中，對于具有復雜約束的混料均勻設計討論較少，最近，Chuang and Hung(2010)提出了一種叫做中心復合偏差的準則用以度量不規(guī)則區(qū)域上設計的均勻程度，并且建議使用交換算法去搜索中心復合偏差準則下某不規(guī)則區(qū)域上的均勻設計。相比于窮盡式搜索，交換算

10、法可節(jié)省大量的時間，考慮到對于一個擁有q個成分以及一些其它限制的混料試驗，其所對應的試驗區(qū)域其實是一個q-1維幾何體，本章提出了一種搜索混料試驗均勻設計的方法，先把q成分的混料試驗區(qū)域經(jīng)某一特定的映射變換到q-1維空間上去，然后使用Chuangand Hung(2010)提出的方法在該q-1維空間上搜索均勻設計，最后，通過相應的逆映射把搜索到的設計變換回原來的位置。這里所提到的映射是由矩陣的QR分解得到的，它只能改變幾何體的位置，而不會

11、改變它的形狀。此方法具有廣泛的應用價值。
　　 第五章提出了一種構造不規(guī)則區(qū)域上均勻設計的方法。此方法是受到Borkowski andPiepel(2009)一文的啟發(fā)，其主要思想是，對于給定的試驗次數(shù)n和試驗區(qū)域Do，首先找到一個可以完全覆蓋Do的規(guī)則區(qū)域D，然后通過數(shù)論法在D上構造許多試驗次數(shù)大于n的設計，保留那些只有n個點落在Do上的設計，并在所有被保留的設計中選一個最好的。本章亦提供了此方法的理論基礎，并在計算機搜索步驟