第二章極限與連續(xù)

1、第二章極限與連續(xù)極限理論是高等數學的基礎，高等數學中包含導數，積分等概念都是用極限描述的。本章包含數列的極限、級數、函數的極限，函數的連續(xù)性的概念、無窮小量與無窮大量的概念。本章約占考試內容10%。2.1數列及其極限一、數列的概念定義2.1一列有順序的數a1a2…an…叫數列。其中an叫第n項，也叫通項。數列可以簡單記作｛an｝，即｛an｝=a1a2…an…【例1】數列123…n…的通項an=n。[答疑編號10020101：針對該題提問

2、]∴記作123…n…=｛n｝。【例2】數列1……的通項an=。[答疑編號10020102：針對該題提問]∴記作1……=｛｝?！纠?】數列……的通項an=。[答疑編號10020103：針對該題提問]∴記作……=｛｝?！纠?】數列1111…（1）n1…的通項an=（1）n1。[答疑編號10020104：針對該題提問]∴記作1111…（1）n1…=｛（1）n1｝。二、數列的極限定義2.2如果當n無限增大時（記作n→∞），數列｛an｝=a1a2

3、…an…的通項an與一個常數a無限接近，就說數列｛an｝的極限是a，記作這時，也說數列｛an｝是收斂的且收斂于常數a。否則，就說數列｛an｝是發(fā)散的?！纠?】討論數列｛｝=1……的斂散性。[答疑編號10020105：針對該題提問]解：因為通項an=“擺的量”的絕對值是趨向0的，所以，an離1距離越來越近，且無限接近，由極限的定義知∴數列收斂且收斂于1。三、收斂數列的性質下面介紹收斂數列有下面性質：性質性質1（極限的唯一性）若且則必有a=

4、b性質1證明收斂數列的極限唯一性質性質2（收斂數列的保號性）若，則有（1）若an0，則a≥0；若an0，則an0；若a0則an0。四、數列極限的運算法則及存在準則為了使我們能夠從已知的簡單數列的極限推求出更多、更復雜數列的極限，下述的極限四則運算法則是必須掌握的。（不證）定理定理2.12.1若則（1）；（2）；（3）（此時b≠0）。。此定理說明，由數列｛an｝，｛bn｝的收斂就可推知更多數列收斂，且可以求出相應的極限值。推論推論1推論推