變分不等式問題的仿射內(nèi)點(diǎn)信賴域方法和應(yīng)用.pdf

1、變分不等式問題起源于數(shù)學(xué)物理問題和非線性規(guī)劃。長(zhǎng)期以來，變分不等式問題已被廣泛應(yīng)用于構(gòu)建和研究金融學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、交通規(guī)劃及區(qū)域科學(xué)等領(lǐng)域產(chǎn)生的各種均衡模型。因其在數(shù)學(xué)規(guī)劃研究中的重要作用，變分不等式問題的有效求解正成為當(dāng)今變分不等式問題研究的重要方面。由于對(duì)變分不等式問題直接進(jìn)行求解難度很大，許多研究工作者設(shè)想了很多間接求解變分不等式問題的方法，其中最重要的分支之一是將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的（無(wú)）約束優(yōu)化問題，以便于運(yùn)用成熟的最優(yōu)化方法得以解決。

2、 非線性（無(wú)）約束的最優(yōu)化理論與方法的研究，由整體收斂性和局部收斂速率兩部分構(gòu)成，其中線搜索技術(shù)與信賴域策略是保證算法的整體收斂性的兩個(gè)重要手段。同時(shí)，伴隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和軟件的完善，最優(yōu)化問題的數(shù)值求解正變得越來越實(shí)際可行。 本文主要針對(duì)有界約束、線性約束、非線性約束及一般凸約束的單調(diào)變分不等式問題，引入Fukushima及Peng介紹的各種勢(shì)函數(shù)，將變分不等式問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的（無(wú)）約束優(yōu)化問題，提出了各類結(jié)合非單調(diào)線

3、搜索技術(shù)的仿射變換內(nèi)點(diǎn)信賴域方法。 在構(gòu)造約束優(yōu)化問題的信賴域子問題過程中，本文通過引入一些仿射矩陣技巧性克服了有界約束、線性等式和不等式約束帶來的困難，構(gòu)建了近似二次函數(shù)和具有常用的橢球約束信賴域子問題。解此子問題即得可行的迭代方向，通過非單調(diào)線搜索獲得下一迭代點(diǎn)并可保證目標(biāo)函數(shù)有足夠下降量。在合理的假設(shè)條件下，所給出的這類算法具有整體收斂性和局部二次收斂速率。 最優(yōu)路徑法及修正梯度路徑法是解無(wú)約束優(yōu)化問題時(shí)的常用方法

4、，由于具有構(gòu)造簡(jiǎn)便，易于編程計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，這些弧線路徑法已經(jīng)成為求解大規(guī)模問題的一種重要方法。在本文中，通過引入仿射變化矩陣，構(gòu)造了約束優(yōu)化問題的仿射變換最優(yōu)路徑。沿著最優(yōu)路徑搜索得到迭代方向，當(dāng)該迭代方向步不嚴(yán)格可行時(shí)，利用線搜索技術(shù)得到可接受的步長(zhǎng)因子，并且此步長(zhǎng)因子保證了新的迭代點(diǎn)有足夠的下降量并且位于可行域的內(nèi)部。由于最優(yōu)路徑是通過信賴域問題得到的，因此具有非常良好的性質(zhì)。文章證明了最優(yōu)路徑仿射內(nèi)點(diǎn)算法具有整體收斂性和局部二次收斂

5、速率。 另外，基于變分不等式問題的無(wú)約束優(yōu)化問題（Peng）的勢(shì)函數(shù)，將線性約束變分不等式問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的約束優(yōu)化問題，提供了結(jié)合非單調(diào)線搜索技術(shù)的仿射變換內(nèi)點(diǎn)修正梯度路徑方法?？紤]將信賴域子問題中的信賴域約束去掉，沿著修正梯度路徑搜索并結(jié)合回代線搜索技術(shù)，可以近似的求解信賴域子問題。文中證明了在合理的假設(shè)條件之下，算法具有整體收斂性。若在算法中引入線性化變分不等式問題，同樣可得局部超線性收斂速率。 投影梯度法是解決凸約

6、束最優(yōu)化問題的一類有意義的方法，本文中對(duì)于凸約束的單調(diào)變分不等式問題產(chǎn)生的信賴域子問題，采用近似投影梯度算法對(duì)其進(jìn)行求解，既避免了反復(fù)求解信賴域子問題，又保證了算法具有整體收斂性和局部二次收斂速率。算法的數(shù)值結(jié)果表明了有效性和可行性。 變分不等式問題和最優(yōu)化問題與KKT系統(tǒng)之間具有緊密的聯(lián)系，特別是一般的非線性約束變分不等式問題可以轉(zhuǎn)化為KKT系統(tǒng)。本文一方面考慮對(duì)非線性約束變分不等式問題的KKT條件進(jìn)行重構(gòu)，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的約束優(yōu)