P-群的一類問題研究及有限幾乎單群的數(shù)量刻畫.pdf

1、本文研究了p-群的三個(gè)公開問題及有限幾乎單群的數(shù)量刻畫，全文共五章.
　　第1章研究背景及主要結(jié)果
　　首先，介紹了本文用到的常用符號，概念及定義;然后，介紹了本文研究的背景;最后，列出了本文的主要研究結(jié)果.
　　第2章 p-群的三個(gè)公開問題
　　第1節(jié)，我們研究含有某些特殊有限中心化子子群的局部冪零p-群.這一問題與Blackburn在文獻(xiàn)[2]提出的如下問題6相關(guān):
　　分類非交換p-群G，使得G含有p

2、階元t滿足CG(t)=×C，其中p＞2且C(≈)Cpm，m＞1.
　　我們在局部冪零p-群下，研究滿足下列條件的群:
　　1.群G中存在某子群H使得CG(H)=H，其中|H|=p2或者|H|=p3且H為初等交換群;
　　2.群G中存在某元素x使得CG(x)=×C，其中|x|=p且C是pm階的循環(huán)子群，這里m＞1.
　　當(dāng)條件1成立時(shí)，我們證明了:如果G是局部冪零p-群，則當(dāng)H是一個(gè)p2的子群時(shí)，G是秩

3、為p-1的可除交換p-群被p-階循環(huán)群的擴(kuò)張;當(dāng)H是階為p3的初等交換群時(shí)，G是秩或者為p-1或者為2p-2的可除交換p-群被一個(gè)有限p-群的擴(kuò)張.
　　當(dāng)條件2成立時(shí)，我們證明了:如果G是局部冪零p-群，則G是秩為p-1的可除交換p-群被一個(gè)有限p-群的擴(kuò)張.
　　第2節(jié)，我們研究Berkovich和Janko在文獻(xiàn)[1]中提出的問題237:
　　研究有限p-群G，其任意兩元生成的子群H滿足|H|≤p2exp(H).

4、
　　我們研究任意二元生成的子群含有較大的循環(huán)子群的有限p-群，得到了這類群的冪零類、導(dǎo)群的方次數(shù)和Gpi的一些性質(zhì).
　　第3節(jié)，我們考慮Berkovich和Janko在文獻(xiàn)[2]提出的關(guān)于正規(guī)閉包的公開問題805:
　　研究p-群G使得對所有非正規(guī)交換子群A＜G的正規(guī)閉包AG是極小非交換子群的.
　　我們研究所有非正規(guī)子群的正規(guī)閉包是極小非交換子群的有限p-群，得到了該類群的完全分類.
　　第3章幾乎單

5、群的OD-刻畫
　　群的OD-刻畫問題于2005年興起，由A.R.Moghaddamfar最早提出并研究，本章繼續(xù)這方面的研究.證明了:特殊線性群L7(3)是可OD-刻畫的，即有hOD(L7(3))=1，作為推論得到hOD(PGL7(3))=hOD(SL7(3))=1;一般線性群GL7(3)是可3-重OD-刻畫的，即有hOD(GL7(3))=3，這里GL7(3)是素圖連通的群.
　　第4章共軛類長刻畫幾乎單群
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6、87年Thompson提出如下猜想[40，問題12.38]:
　　設(shè)群G是有限群，Z(G)=1，N(G)={n|G有共軛類C使得|C|=n}.如果M是一個(gè)非交換單群使得N(G)=N(M)，則G≈M.
　　該猜想是對非交換單群提出來的，已經(jīng)很多人作過研究.本章對M不是單群的情況加以討論，證明了:M是單K3-群的自同構(gòu)群時(shí)，Thompson猜想也是正確的.
　　第5章用群的階及最高階元刻畫幾乎單群
　　在1987年，

7、施武杰教授提出如下的著名猜想:
　　設(shè)G和S是有限群，其中S是某有限非交換單群，則G≈S當(dāng)且僅當(dāng)|G|=|S|且πe(G)=πe(S).
　　近年來，隨著該猜想被完全證明，有群論工作者用更少的元素階和群階來刻畫單群，即選取πe(S)中某些特殊的元素的階來刻畫單群.
　　在本章中，我們用群的階|S|及最高階元m1(S)來刻畫L2(q)型單K4-群和L3(p)型單K5-群.證明了:L2(q)型單K4-群和L3(p)型單K5