均值有界變差條件在Fourier分析中的若干應用.pdf

1、基礎數學包含三個分支：代數學、幾何學和分析學。分析是三個分支中最后發(fā)展起來的學科，是為了克服代數和幾何的分離狀態(tài)，將它們結合起來，用于描述運動的學科，是現代數學的開端，是計算數學和應用數學的基礎。
　　 當人們開始研究分析學中的級數論時，發(fā)現對級數進行精確的計算幾乎是不可能的，但是級數，特別是能對函數空間構成基的級數具有計算上無可置疑、無可替代的重要性，如眾所周知，Taylor級數、Fourier級數和小波在理論和實踐中，在科學

2、和技術上對整體發(fā)展和應用產生過或依然正在產生著巨大的作用，其中，Fourier級數在工程技術上的大量重要應用構成了現代技術的強大基礎。
　　 為了有效地對Fourier級數進行近似計算，首先必須研究其收斂性，這個課題有長久的歷史，從19世紀起，研究Fourier級數及其由其構成的各種工具（求和方法、算子等）的各種收斂性，形成了數學分析中一個吸引包括許多著名數學家在內的學者研究的一條熱烈但困難的主流。其中，在三角級數(Fourie

3、r級數)一致收斂性和平均收斂性問題中人們一直關心Fourier系數的單調遞減條件最終的推廣，這類研究及相關討論，開始于英國Chaundy-Jollife1916年的工作[8]和Young1913年的工作[44](參見Zygmund[49])，產生了大量優(yōu)秀的工作。
　　 周頌平和其合作者一起，從2003年開始研究這個課題，最終證明了(S. P. Zhou-P.Zhou-Yu[47])：這個方向一個最終的推廣是他們提出的MVBV條

4、件（均值有界變差條件），而且這個條件不能再減弱。
　　 本文選擇進行Fourier分析有關收斂性課題及其相關方面的研究正是基于它在理論上有重要意義，而最近現代構造性方法的完善又使解決某些以前認為困難的問題有了相當大的可能。因此，我們繼續(xù)研究應用MVBV條件對三角級數一些重要經典結果的推廣。全文共分五章，首先應用MVBV條件對一個重要的三角不等式和一個重要漸近等式進行推廣，然后研究經典的可積性問題，最后考慮了MVBV條件在強逼近及

5、其相關嵌入定理中的應用。
　　 第一章：引論
　　 本章回顧了三角級數或Fourier級數收斂性問題的歷史，給出了本文中所涉及的常用符號和定義，闡述了系數數列單調性條件的發(fā)展及各數列集合間的關系。
　　 第二章：MVBV條件在一個重要三角不等式中的應用
　　 本章對一個重要的三角不等式sup|(?)(?)|≤3(?)進行了推廣，證明了：若C={C}(?)∈MVBVS，且有nCn≤K,n=1,2，…．假設自

6、然數列{nm}滿足(?)(?)≤(?)，m=1,2，…，A>1，則對任意x成立
　　 (?)|(?)Cκsinκx|≤K1(C)A.
　　 最后，我們指出：為了保證上面的不等式成立，MVBV條件已經不可減弱。
　　 第三章：MVBV條件在一個重要漸近等式中的應用
　　 本章推廣了一類三角級數的漸近和，指出：設復數數列{Cn}(?)∈MVBVS,ω(t)是(0,∞)上的連續(xù)性模函數滿足條件
　　 t

7、(?)(?)du=O(ω(t)),(?)(?)du=O（ω（t））．
　　 如果(?)(?)=A，則
　　 f(x)=(?)Cneinx～A(?)ω（n-1）einx, x→0.
　　 第四章：MVBV條件在函數可積性中的應用
　　 本章研究經典可積性問題。設g(x)=∑(?) ansinnx, f(x)=∑(?) an cos nx，我們證明了以下經典定理的推廣：設{an}∈MVBVS.那么，對于0≤a

8、<2,
　　 g(x)/xα∈L2π(?)(?)nα-1a,<∞;
　　 對于0　　 f(x)/xa∈L2π(?)(?)na-1an<∞.
　　 但是，當α=0時對于正弦級數，卻有不盡相同的意外情形發(fā)生，即：當{an}∈MVBVS時，g(x)∈L2π(?)(?)n-1an＜∞，但反之一般未必成立。這個不完善性促使我們在本章末提出了一個猜想。
　　 第五章：MVBV條件在強逼近及其相關嵌

9、入定理中的應用
　　 本章我們繼續(xù)考慮MVBV條件在強逼近問題和相關嵌入定理方面的應用，建立如下的完整結果：設β，p>0, r≥0,ω是一個連續(xù)性模函數，λn為滿足條件A2n≤An的正數列。如果{Anωp(1/n)n-rp}∈AMS成立，則有
　　 WrH(?)∩CMVBVs(?)H(λ,ρ,Υ，ω).
　　 綜合起來說，許多經典結果構成了Fourier分析的整個體系的支柱，在研究過程中，我們精心選擇了一些比較有