Hardy不等式與某些含臨界位勢的橢圓型方程.pdf

1、本文主要討論Hardy(型)不等式以及含臨界位勢的橢圓型方程多重解的存在性,全文共七章。
　　第一章,建立了R~4中相應的Rellich不等式,證明了常數(shù)是最佳的,由此確定了臨界位勢。隨后,利用臨界點理論證明了含臨界位勢的非線性橢圓型雙調和方程多重解的存在性,其中非線性項為次臨界增長。
　　第二章,建立了含一般權的一維Hardy不等式,并證明常數(shù)是最佳的,利用變量代換的方法得到含一般權的L~2-恒等式,以此式進行遞推便得到含

2、任意有限個余項的恒等式。進而,建立了含任意有限個余項的一維Hardy不等式。隨后,利用對稱重排的方法,得到了含任意有限個余項的N維L~p-Hardy不等式,其中權為冪函數(shù)。最后,研究了N=p時,含臨界位勢的p-Laplace方程第一特征值問題,給出了第一特征值的漸進性態(tài)。
　　第三章,給出了使Hardy不等式成立的(左右兩端)權函數(shù)之間的一個關系式,得到了含一般權函數(shù)的N維L~pHardy不等式,其中常數(shù)是最佳的。類似于第二章,通

3、過變量代換得到了含一般權的N維L~2-恒等式,以此恒等式出發(fā)便得到含無窮多個余項的L~2-Hardy不等式,其中常數(shù)和權函數(shù)都是最佳的。此外,建立了含任意多個余項的Hardy-Poincaré不等式。最后,研究了含一般權及余項的L~p-Hardy不等式,但沒能找到最佳常數(shù)。
　　第四章,建立了第三章中定義的新空間中的嵌入定理及嵌入緊性,并利用臨界點理論證明了一類含(一般徑向)臨界位勢和臨界參數(shù)的非線性退化橢圓型方程多重解的存在性。

4、
　　第五章,在跡非零的函數(shù)空間中建立了相應的Hardy不等式,此時要求Hardy不等式包含邊界項積分,用類似于前兩章的方法在跡非零空間中建立了含一般權及余項的Hardy不等式以及Hardy-Poincaré不等式。定義了一個新的Hilbert空間,證明了一類半線性橢圓型方程Neumann邊值問題的可解性。
　　第六章,建立了含到邊界距離的Hardy-Poincaré不等式,由此定義一個新的Hilbert空間,并得到該空間嵌