對稱擬線性橢圓方程Dirichlet問題的擾動.pdf

1、本文中，我們將應用極大極小方法研究一類具有對稱非線性項的擬線性橢圓方程Dirichlet邊值問題在非對稱擾動下解的存在性與多重性?？紤]對稱擬線性橢圓方程Dirichlet邊值問題的擾動(P1)ε{-△pu=f(x,u)+εg(x,u),inΩ,u=0,on()Ω這里Ω是RN中的有界區(qū)域，具有光滑邊界()Ω，Δpu=div(|()u|p-2()u)為p-拉普拉斯算子，ε是一個參數，其中g：Ω×R→R是任一連續(xù)函數，f：Ω×R→R是連續(xù)函數

2、，我們將在下面賦予函數f所滿足的兩組條件。 非線性函數f滿足的第一組條件，是如下的整體性條件：(f1)對任意的x∈Ω，t∈R，有f(x，-t)=-f(x，t).(f2)當1＜p＜N時，存在常數C＞0和1＜q＜p*-1，其中p*=NP/N-p，使得對任意的x∈Ω，t∈R，有|f(x，t)|≤C(1+|t|q)；當N=p時，有l(wèi)im|t|→∞ln(|f(x,t)|+1)/|t|p=0，對x∈Ω一致成立。 (f3)存在常數M＞

3、0和μ＞p，使得對任意的x∈Ω，|t|≥M，有0＜μF(x，t)≤tf(x，t)，其中F(x，t)=∫t0f(x，s)ds為f的原函數。 非線性函數f滿足的第二組條件，是如下的局部性條件：(f4)存在常數δ＞0，使得當x∈Ω，|t|≤δ時，有f(x，-t)=-f(x，t).(f5)limt→0F(x,t)/|t|p=+∞.(f6)存在常數δ1＞0，使得對任意的x∈Ω，0＜|t|≤δ1，有pF(x，t)＞tf(x，t).本文的主要

4、結果是下面的兩個定理。 定理1設函數f滿足條件(f1)-(f3)，則對任意給定的j∈N，存在εj＞0，使得當|ε|≤εj時，問題(P1)ε至少有j個不同的解，且這些解具有正的臨界值，即若u是這樣的一個解，則1/p∫Ω|()u|pdx-∫Ω[F(x,u)+εG(x,u)ds＞0.定理2設函數f滿足條件(f4)-(f6)，則對任意給定的j∈N，存在εj＞0，使得當|ε|≤εj時，問題(P1)ε至少有j個不同的解，且這些解具有負的臨界