基于間斷有限元方法的光子晶體計(jì)算.pdf

1、本文主要研究與光子晶體有關(guān)的微分算子譜的逼近理論與應(yīng)用。
　　光子晶體是具有折射率的材料在空間中周期排布形成的結(jié)構(gòu)。在適當(dāng)?shù)牟牧咸匦院途w的幾何形狀的條件下，某些頻率的光是不能在里面?zhèn)鞑サ?，而且反射率可達(dá)百分之百，而其他電磁波可以幾乎無(wú)損耗地傳播，這一特性可以用來(lái)控制電磁波的傳播和輻射。Maxwell方程可以用來(lái)描述電磁波在其中傳播時(shí)的行為，而且模型精確性很高，其模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)相差較小，是研究光子晶體電磁特性的一種重要途徑。<

2、br>　　首先，我們分析了帶周期系數(shù)的Maxwell方程的間斷有限元離散。全空間中的Maxwell算子的譜是連續(xù)的，無(wú)法通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)逼近。通過(guò)Bloch/Floquet理論，將R3中的帶周期系數(shù)的Maxwell算子轉(zhuǎn)化為具有周期邊界的問(wèn)題，這樣就可以采用修正的Nédélec基函數(shù)來(lái)構(gòu)造間斷有限元格式進(jìn)行數(shù)值逼近。我們證明了混合間斷有限元格式的收斂性。然而，這種收斂只是點(diǎn)點(diǎn)收斂，而對(duì)于有界算子，數(shù)值特征值的正確收斂與其數(shù)值算子的一致收斂

3、是充要條件。為此，我們分析數(shù)值解空間的離散緊性，證明了該數(shù)值算子是一列相對(duì)緊算子，繼而證明了其收斂是一致收斂。我們還證明了數(shù)值特征值的收斂速度是基函數(shù)次數(shù)與解的正則性最小值的兩倍，該結(jié)果在二維和三維的數(shù)值例子上得到了驗(yàn)證。最后我們應(yīng)用這些方法計(jì)算了幾種常見的光子晶體模型的能帶結(jié)構(gòu)。
　　當(dāng)光子晶體的材料性質(zhì)為非線性時(shí)，會(huì)導(dǎo)出非線性特征值問(wèn)題。我們主要研究了Drude模型和Lorentz模型等有理型非線性模型所產(chǎn)生的多項(xiàng)式特征值問(wèn)題

4、。我們將多項(xiàng)式特征值問(wèn)題處理成與其具有相同譜的線性化算子來(lái)分析。而線性化算子通常不是有界算子，不能再用范數(shù)來(lái)描述其數(shù)值算子的收斂性。為此我們引入gap作為衡量算子間距離的工具，將緊算子或有界算子譜的逼近理論推廣到了一般的線性算子，然后應(yīng)用其構(gòu)造了多項(xiàng)式特征值問(wèn)題的逼近理論。我們研究了多項(xiàng)式特征值問(wèn)題中的本質(zhì)譜，證明了本質(zhì)譜在相對(duì)緊攝動(dòng)下的穩(wěn)定性。對(duì)于用具有有理型非線性介電常數(shù)的材料制成的晶體，即使其幾何形狀不同，其本質(zhì)譜保持不變。這樣我