限制李超代數(shù)與Hom-李超代數(shù)中若干問題研究.pdf

1、李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學前沿領域中具有重要地位的學科之一。由于物理學中超對稱性問題研究的需要，李代數(shù)被推廣到李超代數(shù)，并成為一個活躍的研究領域。根據代數(shù)基域特征的不同，李超代數(shù)分為模李超代數(shù)（素特征域上的李超代數(shù)）和非模李超代數(shù)（特征零域上的李超代數(shù)）。在模李超代數(shù)方面，有限維單模李超代數(shù)的分類問題還沒有完全解決。李代數(shù)的研究經驗說明，限制理論與上同調理論將對這一問題的解決有很大幫助。本文首先建立了限制李超代數(shù)的一些基本理論。然后，計算了一類重

2、要的典型李超代數(shù)slm|n到限制Cartan型李超代數(shù)W, S, H的低階上同調群；在非模李超代數(shù)方面，主要研究了Hom-李超代數(shù)結構問題。首先建立了Hom-李超代數(shù)的結構理論，然后根據Kac對向量場線性緊致單李超代數(shù)的分類，研究了這些Z-階化單李超代數(shù)上的Hom-結構。本文具體研究內容如下：
　　第一，在限制李超代數(shù)基本理論方面，首先將限制李代數(shù)的一系列基本概念及性質推廣到限制李超代數(shù)中，建立起限制李超代數(shù)基礎理論。然后重點研究

3、了限制李超代數(shù)的環(huán)面秩，得到了關于限制李超代數(shù)的環(huán)面秩的若干重要結論，如環(huán)面秩為零的充分必要條件，環(huán)面具有極大環(huán)面秩的充分條件等。作為應用，給出了典型李超代數(shù)slm|n與限制Cartan型李超代數(shù)W, S的絕對環(huán)面秩及S在W中的環(huán)面秩。
　　第二，在計算典型李超代數(shù)slm|n到限制Cartan型李超代數(shù)W, S, H的低階上同調群中，首先將slm|n嵌入到W, S, H的零階化分支中，使得在伴隨表示的意義下，W, S, H成為sl

4、m|n-模。然后利用適當?shù)淖幽７纸?，采取新的簡約的方法，將計算slm|n到W, S, H的零階和一階上同調問題分別轉化為計算到一些子模的零階上同調和保持權不變的導子的問題。本文對該類問題的解決方法，不同于以往的簡單計算，所得的結果也與在非模李超代數(shù)中的經典結論有所不同。
　　第三，在Hom-李超代數(shù)方面，首先建立了Hom-李超代數(shù)的結構理論。特別地，對單Hom-李超代數(shù)進行研究，得到了單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡的左（右）理想

5、、理想的結論。然后，給出了Hom-李超代數(shù)的一些基本性質，如正則Hom-李超代數(shù)可解（冪零）的充要條件及單性的必要條件等。最后，根據無限維向量場單李超代數(shù)的階化結構特點，通過計算其零階化分支和負一階化分支上的保積Hom-結構，得到了Z-階化無限維向量場單李超代數(shù)的保積Hom-結構都是平凡的結論。
　　本文關于限制李超代數(shù)的結論將對模李超代數(shù)分類問題的解決提供參考，關于Hom-李超代數(shù)的結論將豐富Hom-代數(shù)結構理論，同時為量子群和