基于分?jǐn)?shù)階PDE的圖像結(jié)構(gòu)保持型去噪算法研究.pdf

1、通常情況下，圖像是復(fù)雜的，包含非常豐富的局部結(jié)構(gòu)特征，如曲線邊緣、直線邊緣、精致紋理、角點(diǎn)、斜坡區(qū)域和平坦區(qū)域等，在圖像降噪的過(guò)程中，保持這些復(fù)雜、豐富且極其重要的結(jié)構(gòu)特征是至關(guān)重要的。要保持這些各種各樣的結(jié)構(gòu)特征，在圖像去噪時(shí)就要用不同的微分幾何量來(lái)進(jìn)行區(qū)分和表征，建立對(duì)不同結(jié)構(gòu)特征保持的合適的數(shù)學(xué)模型。
　　分?jǐn)?shù)階微積分理論在圖像處理中所呈現(xiàn)出的特性是整數(shù)階微積分方法難以比擬的。本文以富含復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征圖像為對(duì)象，研究變分與非線

2、性擴(kuò)散方程圖像降噪的方法與模型，利用分?jǐn)?shù)階微積分、微分幾何方法等理論，探索圖像不同結(jié)構(gòu)特征的不同表征方法，并在此基礎(chǔ)上利用變分法等方法提出新的變分與非線性擴(kuò)散方程圖像降噪框架。新的理論框架拓寬和豐富了變分與非線性擴(kuò)散方程方法在圖像處理中的應(yīng)用，可以進(jìn)一步推廣到深層次的后續(xù)圖像處理領(lǐng)域，具有理論意義和應(yīng)用前景。本文的主要工作及貢獻(xiàn)包括以下幾個(gè)方面：
　?。?）基于頻域定義中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散因子，提出了分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散的自適

3、應(yīng)P-Laplace方程的圖像去噪模型。由于僅依靠圖像梯度（一階微分幾何量）來(lái)表征圖像復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特征是不夠的，本文將含有更豐富信息的曲率（二階微分幾何量）加入到擴(kuò)散因子中，并將擴(kuò)散因子推廣到分?jǐn)?shù)階，得到的分?jǐn)?shù)階的擴(kuò)散因子可以根據(jù)分?jǐn)?shù)階梯度與分?jǐn)?shù)階等照度線的曲率自適應(yīng)地改變，自適應(yīng)地控制擴(kuò)散強(qiáng)度和擴(kuò)散方向。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的模型能有效地提高去噪能力，并能很好地保持重要的局部特征，特別是彎曲程度較大的邊緣、小尺度紋理細(xì)節(jié)和坡度結(jié)構(gòu)，

4、也能有效地權(quán)衡“階梯效應(yīng)”與“斑點(diǎn)效應(yīng)”，使處理后的圖像看上去更自然。
　　（2）基于空域中的Grümwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與平均曲率，提出了分?jǐn)?shù)階平均曲率驅(qū)動(dòng)分?jǐn)?shù)階電報(bào)擴(kuò)散方程的圖像去噪模型，并在理論上證明了所提出模型的解的存在唯一性。首先將分?jǐn)?shù)階微分引入電報(bào)擴(kuò)散方程，形成二階電報(bào)擴(kuò)散方程與四階電報(bào)擴(kuò)散方程的一個(gè)自然插值；然后把能表征更多圖像局部結(jié)構(gòu)信息的平均曲率推廣到分?jǐn)?shù)階，和整數(shù)階的平均曲率相比，分?jǐn)?shù)階的平均曲

5、率的使用除能有效地保持圖像彎曲邊緣、角點(diǎn)和對(duì)比度外，還能很好保護(hù)小尺度、彎曲程度更大的圖像結(jié)構(gòu)；然后把得到的分?jǐn)?shù)階平均曲率作為傳導(dǎo)項(xiàng)；同時(shí)將Laplacian核做為控制函數(shù)，Laplacian核函數(shù)在高頻區(qū)域的擴(kuò)散速度是介于兩個(gè)常用PM模型的控制函數(shù)的速度之間，而在平坦區(qū)域的擴(kuò)散速度是小于這兩個(gè)常用PM模型的控制函數(shù)的速度，這樣得到新的擴(kuò)散系數(shù)去控制新的分?jǐn)?shù)階電報(bào)擴(kuò)散過(guò)程。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該模型具有顯著的降噪能力，能有效地保持圖像彎曲邊緣

6、、角點(diǎn)和對(duì)比度，同時(shí)也克服了階梯效應(yīng)和斑點(diǎn)效應(yīng)，尤其對(duì)富含紋理和具有較大彎曲度結(jié)構(gòu)特征的圖像，具有很好地保持效果。
　　（3）針對(duì)基于梯度作為圖像邊緣指示算子不能很好地區(qū)分圖像邊緣與斜坡、基于平均曲率作為圖像邊緣指示算子不能很好地區(qū)分開圖像邊緣和孤立噪聲、基于高斯曲率作為圖像邊緣指示算子在噪聲尺度比較大時(shí)，去噪效果較差等問(wèn)題，本文提出了新的邊緣指示算子差分曲率，其能更好地刻畫圖像，在有效地去除噪聲的同時(shí)能從圖像的平坦和斜坡區(qū)域區(qū)分

7、開圖像的邊緣。基于差分曲率與頻域上的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，分別構(gòu)建了基于差分曲率的分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散與分?jǐn)?shù)階的自適應(yīng)全變分的兩類圖像降噪模型。
　　首先，建立了基于差分曲率驅(qū)動(dòng)的分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散的圖像結(jié)構(gòu)保持型降噪模型。將頻域中定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入各向異性擴(kuò)散方程，形成PM方程與四階各向異性擴(kuò)散方程的一個(gè)自然插值；把差分曲率作為傳導(dǎo)項(xiàng)，Laplacian核作為控制函數(shù)。Laplacian核函數(shù)比兩個(gè)常用PM模型的控制函數(shù)能更好地保留圖像邊緣（

8、見(jiàn)（2）中的論述）。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該模型在有效提高峰值信噪比的同時(shí)得到了好的視覺(jué)效果，有效地區(qū)分圖像邊緣與斜坡區(qū)域，克服了階梯效應(yīng)和斑點(diǎn)效應(yīng)。
　　其次，建立了基于差分曲率的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)的全變分圖像去噪模型。提出一種差分曲率函數(shù)作為具有自適應(yīng)擴(kuò)散特征的變動(dòng)指數(shù)的正則項(xiàng)；另一種差分曲率函數(shù)當(dāng)作調(diào)節(jié)正則項(xiàng)和保真項(xiàng)的正則參數(shù)。在圖像邊緣處，正則項(xiàng)中變動(dòng)指數(shù)的自適應(yīng)選擇可以較好地保持圖像的邊緣；在圖像斜坡和平坦區(qū)域，同時(shí)對(duì)孤立噪聲，正則項(xiàng)

9、中分?jǐn)?shù)階全變分能很好地去除噪聲，并有效抑制階梯效應(yīng)；在小尺度紋理處，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和自適應(yīng)的正則參數(shù)的使用可以對(duì)其較好地保持。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型能很好保護(hù)邊緣和斜坡區(qū)域，同時(shí)也能很好地增強(qiáng)圖像細(xì)節(jié)。
　　（4）為了更好地刻畫圖像中重要的視覺(jué)幾何結(jié)構(gòu)，建立了一種基于分?jǐn)?shù)階結(jié)構(gòu)張量的分?jǐn)?shù)階電報(bào)擴(kuò)散的圖像降噪模型，并在理論上證明了所提出模型的解的存在唯一性。分?jǐn)?shù)階張量擴(kuò)散，既繼承了分?jǐn)?shù)階微積分的特性，又因結(jié)構(gòu)張量的特性可以獲取更多額外的圖

10、像結(jié)構(gòu)信息，因此，其能更加精細(xì)地區(qū)分圖像的流狀結(jié)構(gòu)、角區(qū)域、T形結(jié)構(gòu)(結(jié)構(gòu)具有不同的方向)等圖像重要信息，也能更好地處理弱結(jié)構(gòu)、小尺度以及具有分形性質(zhì)的結(jié)構(gòu)。分?jǐn)?shù)階電報(bào)擴(kuò)散方程的提出，形成了二階電報(bào)擴(kuò)散方程與四階電報(bào)擴(kuò)散方程的一個(gè)自然插值，其可以看著是阻尼波動(dòng)方程，在圖像邊緣保持方面，優(yōu)于其它的擴(kuò)散方程，且能有效地權(quán)衡階梯效應(yīng)和斑點(diǎn)效應(yīng)。用分?jǐn)?shù)階結(jié)構(gòu)張量取代一般的標(biāo)量擴(kuò)散函數(shù)或整數(shù)階的結(jié)構(gòu)張量能得到真正意義上的各向異性擴(kuò)散或能更好地處理