常微分方程期末考試題大全(東北師大)

1、證明題證明題：設在上連續(xù)，且，又，求證：對于方程??xf????0??bxfx????lim0?a的一切解，均有。??xfaydxdy????xy??abxyx????lim證明由一階線性方程通解公式，方程的任一解可表示為，??????????????xataxdtetfCexy0即。????axxatedtetfCxy???0由于，則存在，當時，。因而bxfx????)(limXXx?Mxf?)(??dteMdtetfdtetfxXa

2、tXatxat?????00)(，??)(0aXaxXateeaMdtetf????由，從而有，顯然。0?a???????????????xatxdtetfC0lim??????axxelim應用洛比達法則得????axxatxxedtetfCxy?????????0limlim??axaxxaeexf????lim。??abaxfx?????lim證明題證明題：線性齊次微分方程組最多有個線性無關的解，其中是定xAx)(t??n)(tA

3、義在區(qū)間上的的連續(xù)矩陣函數。bta??nn?證要證明方程組最多有個線性無關的解，首先要證明它有個線性無xAx)(t??nn關的解，然后再證明任意個解都線性相關。1?n，?????????????)()()()()(0)()()()(22112211tftxtCtxtCtxtCtxtC解得，))()(()()()()()()()()()(0)(2122121221txtxwtxtftxtxtxtxtxtftxtC???????，))()(

4、()()())()(()()(0)()(21121112txtxwtxtftxtxwtftxtxtC????積分得。dssxsxwsxsftCdssxsxwsxsftCtttt?????00))()(()()()())()(()()()(21122121原方程的一個特解為dssxsxwsxsftxdssxsxwsxsftxytttt?????00))()(()()()())()(()()()(21122121故是原方程的一個特解。dss

5、fsxsxwsxtxtxsxtφtt)())()(()()()()()(0212121???證明題：證明題：設是常系數線性齊次方程組……（1）的解，的分??tetλΓx?Axx????tΓ量都是次數的多項式，但至少有一個分量是的次多項式，證明向量組，k?tk??tetλΓ，...，是方程組（1）的線性無關解組。??tetλΓ???tektλ)(Γ證：證：設是常系數線性齊次方程組??tetλΓx?（1）Axx??的解，的分量都是次數的多項