高等數學(下)向量代數與空間幾何總復習

1、期末總復習,第一部分 向量代數與空間解析幾何,1、向量的方向余弦,（一）向量代數,模：,方向余弦：,2、 數量積、向量積和混合積的幾何應用,（1） 數量積的幾何應用,1）幾何表示：,2）代數表示：,3）幾何應用：,a.求模：,b.求夾角：,c.判別兩個向量垂直：,（2） 向量積的幾何應用,1）幾何表示：,2）代數表示：,3）幾何應用：,a.求同時垂直于兩個向量的向量：,b.,c.判別兩個向量平行：,（3） 混合積的幾何應用,1）代

2、數表示：,2）幾何應用：,a.平行六面體體積：,b.判別三向量共面：,（二）直線與平面,1、 平面方程及轉換關系,1）一般式：,2）點法式：,3）截距式：,2、 直線方程及轉換關系,1）一般式：,2）對稱式：,3）對參數式：,3、 直線與平面間的位置關系,1）兩平面之間：,兩平面垂直：,兩平面平行：,2）兩直線之間：,兩直線垂直：,兩直線平行：,3）平面和直線之間：,直線與平面垂直：,直線與平面平行：,4）點到平面的距離：,4）點到平面

3、的距離：,（三） 曲面與空間曲線,（1） 曲面方程,（2）旋轉曲面,一條平面曲線C繞一條定直線旋轉一周而成的曲面.,定義:,1）,2）,（3）柱面,平行于定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做,定義:,柱面,曲線C叫做準線,l叫做母線.,（3）柱面,平行于定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做,定義:,柱面,曲線C叫做準線,l叫做母線.,一般地,,在三維空間中,方程缺哪個變量,則方程代表母線平行于,該變量所代表軸的柱面.,（

4、4）空間曲線,一般式,（4）空間曲線,一般式,參數式,（5） 投影曲線,,（四）必須熟練掌握的常見的二次曲面的方程及其圖形,（1）球面,（2）橢球面,（3）圓錐面,（4）旋轉拋物面,（5）圓柱面,第二部分 多元函數微分法及其應用,一、多元函數的極限、連續(xù)、偏導數與全微分,（一） 基本內容小結,1、 多元函數,2、 二元函數的極限與連續(xù),3、 二元函數的偏導數與全微分,3、 二元函數的偏導數與全微分,連續(xù),可偏導,可微,,,,,,,

5、,,偏導數連續(xù),,,,,,（二） 重點、難點及易錯點解析,1、 求二元函數在分段函數的分界點或不連續(xù)點處的偏導數,需用,偏導數定義.,極限存在,,,,（三） 常見的題型分析,二、多元函數的微分法,（一） 基本內容小結,1. 復合函數的偏導數與全微分,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2. 隱函數的偏導數與全微分,（二） 重點、難點及易錯點解析,,,,,,,,,,,,兩者區(qū)別,區(qū)別類似,把 z = f ( u, x,

6、y ) 中的 u 及 y 看作不變而對 x 求偏導數,把復合函數 z = f [ ? (x, y ), x, y ]中的 y 看作不變而對 x 求偏導數,（三） 常見題型分析,1. 求復合函數的偏導數與全微分,（2）含有抽象函數的二階導數（二階混合偏）及全微分,要點：含有抽象函數的二元復合函數二階偏導數的計算.,,,,,,,,,2. 求隱函數的偏導數與全微分,,,,例 設,是由方程,所確定的二元函數，求,,較麻煩,,對定點處，較簡單

7、,三、多元函數微分學的幾何應用,（一） 基本內容小結,1、 空間曲線的切線及法平面,2、 空間曲面的切平面及法線,（二） 重點、難點、易錯點講解,1、,,,2、,（三） 常見的題型分析,曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線,1、曲面在某點處的切平面,（1）設曲面方程為,第一步：計算,第二步：計算曲面的法向量,第三步：分別寫出切平面和法線的方程,（2）設曲面方程為,第一步：取,第二步：計算曲面的法向量,第三步：利用點法式和對稱式分

8、別寫出切平面和法線的方程,四、方向導數與梯度,（一） 基本內容小結,1、 方向導數,2、 梯度,（二） 常見的題型分析,1、求函數在定點沿指定射線方向的方向導數.,2、求函數在定點處的最大方向導數（梯度方向）.,五、多元函數的極值與最值,（一） 基本內容小結,1. 無條件極值,注意：,駐點,極值點,,,,即,2. 條件極值,（二） 常見的題型分析,1. 無條件極值問題,（三） 常見的題型分析,1. 無條件極值問題,2. 條件極值(最值)

9、問題,第三部分 重積分,一、 二重積分,1. 二重積分的定義及幾何意義,（一） 基本內容小結,2. 二重積分的性質,3. 二重積分的計算,,,（二） 重點、難點及易錯點解析,1. 直角坐標系下化二重積分為二次積分時,應注意事項,2. 直角坐標系下如何確定積分次序?,2. 直角坐標系下如何確定積分次序?,3. 利用對稱性簡化二重積分計算,（三） 常見的題型分析,1. 計算二重積分,計算二重積分的一般步驟:,1) 畫出積分區(qū)域D的草圖

10、,考察D是否具有對稱性,被積函數是否具,有奇偶性，,或被積函數中部分項是否具有奇偶性.,2) 根據D的形狀和被積函數的形式選取適當的坐標系.,3) 根據D的類型和被積函數的特點選取適當的積分次序.,4) 確定二次積分的積分限并計算二次積分.,2. 累次積分交換積分次序及計算,交換積分次序的一般步驟:,二、 三重積分,（一） 基本內容小結,1. 三重積分的概念與性質,2. 三重積分的計算法,3. 重積分的應用,（二）重點、難點及易錯點解析

11、,1. 坐標系及積分方法的選擇,1. 坐標系及積分方法的選擇,2. 對稱性和奇偶性的應用,2. 對稱性和奇偶性的應用,（三）常見的題型分析,1、三重積分化為三次積分問題,2、利用對稱性計算三重積分,3、在三種坐標系下計算三重積分的問題,4、重積分的應用問題（主要是幾何應用）,第四部分 曲線積分與曲面積分,1、第一類曲線積分（對弧長）,一、曲線積分,,一代,,,二換,,,三定限,,2、 第二類曲線積分(對坐標),,,一代,,,,,二

12、換,,,,三定限,,3. 兩類曲線積分的關系,3、 兩類曲線積分的關系,4、 格林公式,5、 平面上第二類曲線積分與路徑無關的幾個等價命題,5、 平面上第二類曲線積分與路徑無關的幾個等價命題,,二、曲面積分,1、 第一類曲面積分（對面積）,1、 第一類曲面積分（對面積）,,二代,,,三換,,,一投,,2、 第二類曲面積分（對坐標）,2、 第二類曲面積分（對坐標）,,二代,,三定號,,,一投,,,3、 兩類曲面積分之間的關系,4、高斯公式

13、,4、 高斯公式,三、重點、難點、易錯點解析,2、利用格林公式 計算第二類曲線積分常見的錯誤,3、利用高斯公式 計算曲面積分常見的錯誤,4、 一個重要的結論,四、常見的題型分析,1、第一類曲線積分（對弧長）的計算,方法：化為定積分,注意：1）可用曲線方程簡化被積函數;,2）可用對稱性簡化計算（同二重積分）.,2、第二類曲線積分（對坐標）的計算,方法：,（1）化為定積分,1）直接法,2）舍舊取新法,2）舍舊取新法,,,兩個路徑都可選擇,（

14、2）利用格林公式 , 化為二重積分,注意格林公式的條件及挖補法的應用.,3、第一類曲面積分（對面積）的計算,方法：,化為二重積分,,二代,,,三換,,,一投,,,注意：（1）可用曲面方程 簡化被 積函數;（2）可用對稱性簡化 計算（同三重積分）.,4、第二類曲面積分（對坐標）的計算,方法：,（1）化為二重積分,1）直接法,2）轉化為第一類曲面積分,3）轉化為對同一坐標的曲面積分,（不推薦）,

15、（2）利用高斯公式，轉化為三重積分,（2）利用高斯公式，轉化為三重積分,注意高斯公式的條件.,5、積分與路徑無關的判定（二元函數全微分求積）,5、積分與路徑無關的判定（二元函數全微分求積）,取特殊路徑完成計算（圖1）,取特殊路徑完成計算（圖2）,,第五部分 無窮級數,1、數項級數收斂性判別,（1）利用級數收斂的必要條件,比值判別法，根值判別法，比較判別法,2、幾個常見的級數,（3） 交錯級數：,萊布尼茨定理,（4） 任意項級數：

16、,絕對收斂和條件收斂,一、 基本內容小結,（2） 正項級數,（判別發(fā)散）,（1）幾何級數：,（2）調和級數：,（3）P 級數：,任意項級數,收斂性判斷的一般步驟：,（1）檢驗,（3）用正項級數審斂法檢驗,是否收斂？,則原級數絕對收斂，從而收斂，,（4）若,發(fā)散，,但是用比值或根值法判斷的，則原級數,也發(fā)散。,是否成立？,若否，則原級數發(fā)散。,若是或,難求，則進行下一步；,若是，,否則，進行下一步；,（2）若原級數為正項級數或交錯級數，則

17、可用正項級數或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步,（5）用性質或其它方法。,3、冪級數的收斂半徑和收斂域,求冪級數,（1）利用極限,（3）判定冪級數在端點,（2）確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間,處的收斂性，,收斂域的一般步驟：,（4）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。,說明（1）冪級數中不能出現“缺項”。,（2）對冪級數,要先做變換,轉化為,性質2：冪級數,且逐項積分后所得級數,的和函數 s (x) 在收斂域 I,上可積，,并有逐

18、項積分公式,其收斂半徑與原級數相同。,4、冪級數和函數的分析性質,性質1：冪級數,的和函數 s (x) 在收斂域 I 上連續(xù).,性質3：冪級數,的和函數 s (x) 在收斂區(qū)間,內可導，,并有逐項求導公式,逐項求導后所得級數,其收斂半徑與原級數相同。,函數展開成冪級數,5、函數展開成冪級數,1）直接法,,2）間接法,利用已知的冪級數展開式，通過變量替換、四則運算、逐項求導或逐項積分等方法，得到函數的冪級數展開式。,6、傅里葉級數的收斂定

19、理,說明：上述結論同樣適用 l = ? 的 情形。,二、重點、難點、易錯點解析,1、絕對收斂判別法判別級數斂散性問題,若正項級數,收斂,,則級數,絕對收斂，當然收斂.,若正項級數,發(fā)散,,,級數,一定發(fā)散.,但是如果用比值法（根值法）判別級數,發(fā)散,,則級數,一定發(fā)散.,2、冪級數收斂點（發(fā)散點）的分布律（Abel定理）,3、缺項冪級數的收斂半徑求法,4、滿足收斂定理條件的以2l為周期的函數f(x)與其傅里葉展式的和函數S(x)的關系,

20、三、常見的題型分析,1、常數項級數斂散性的判別（包括絕對收斂與條件收斂性）.,2、求冪級數的收斂半徑、收斂域.,3、求冪級數的和函數.,4、把函數展開成冪級數.,5、傅里葉級數的收斂定理.,6、確定傅里葉展開式中指定項的傅里葉系數.,7、把函數展開成傅里葉級數（包括正余弦級數）.,典型例題,例1：設,求,解：,例2：設,求,解：,例3：設,求,解：,例4：設,是由方程,解：兩邊取全微分,所確定的二元函數，求,整理并解得,例4：設,是由方

21、程,解：兩邊取全微分,所確定的二元函數，求,整理并解得,例5：曲線,在點,（A）xoy 面；（B）yoz 面；（C）zox 面；,的切線一定平行于（ ）。,（D）平面,解：取,C,例6：求曲面,上同時垂直于平面,與平面,解：取,的切平面方程。,設切點為,,例7：在橢球面,上，求距離平面,的最近點和最遠點。,解：設 ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點,則該點到平面的距離為,問題1：在約束條件,下，求距離 d 的最

22、大最小值。,由于 d 中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題 1 轉化為下面的等價問題,問題2：在條件,下，求函數,的最大最小值。,（1）作拉格朗日函數,（2）聯(lián)解方程組,（1）作拉格朗日函數,（2）聯(lián)解方程組,求得兩個駐點：,對應的距離為,（3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距離和最遠距離均存在。所以,最近距離為,最遠距離為,答案:,例9：試證：,例10:計算,由直線 y = x 及曲線,所圍平面區(qū)域。,利用對稱性和被積函數

23、的奇偶性計算二、三重積分；,在二重、三重積分的計算過程中，要注意對稱性。,例5：計算,其中 D 由直線 y = x , y = ?1 , 及x = 1 所圍平面區(qū)域,三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法；,例12：,提示：,再對,用“ 先二后一 ” 的方法計算，,并用對稱性給出另外兩項的結果。,例13：,提示：利用對稱性、被積函數奇偶性及 “先二后一” 法,（5）利用柱面坐標計算三重積分,例14：,繞 z 軸旋轉一周而成曲面與

24、平面 z = 8 所圍空間立體,例15：設橢球面,的表面積為a，則,20a,提示：利用曲面方程及對稱性,例16：設,則,提示：利用曲線方程及對稱性,0,例3：,提示：利用高斯公式及橢球體的體積。,例17：設 f (x) 在 ( 0 , + ? ) 上有連續(xù)的導數，L 是由點,提示：利用積分與路徑無關，并取新路徑：,A ( 1 , 2 ) 到點 B ( 2 , 8 ) 的直線段，計算,（30）,例18：計算,? 由拋物面,與圓柱面,及

25、坐標面在第一卦限中所圍曲面外側。,提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標,例19：計算,再由坐標原點沿 x 軸到 B (2 , 0)。,解：,,,其中，L 為由點 A (?1 , 1) 沿曲線,到坐標原點，,,,,,分析：應用格林公式,補充：,例20：若冪級數,在 x = - 2 處收斂，,則此冪級數在 x = 5 處（ ）,（A）一定發(fā)散。（B）一定條件收斂。（C）一定絕對收斂。（D）收斂性不能確定。,C,例2：若冪

26、級數,的收斂半徑是16，,則冪級數,的收斂半徑是 （ ）,4,例21：已知,的收斂半徑為 3 ，則,的收斂區(qū)間為（ ）,例4：級數,當（ ）,（A）p > 1 時條件收斂，,（B）0< p ? 1 時絕對收斂，,（C）0< p ? 1 時條件收斂，,（D）0< p ? 1 時發(fā)散。,C,例22：求下列冪級數的和函數,容易求得,例23：設 f (x) 是周期為 2 的

27、周期函數，它在,則 f (x) 展開成傅里葉級數在 x = 1 處收斂于,解： 根據收斂定理， f (x) 的傅里葉級數在 周期的端點x = 1 處收斂于,上的表達式為,,答案：,例24：設,則,解： 若將 f (x) 作奇延拓至,而,再以 2 為周期延拓至整個數軸，,則 s (x) 就是延拓后的函數在整個數軸上的傅里葉級數的和函數。,s (x) 是一個奇函數，所以,例25：設 f (x) 是周期為 2 ? 的周期函數，它在,求 f