習題課 級數的收斂、求和與展開

1、,習題課,級數的收斂、求和與展開,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、冪級數和函數的求法,四、函數的冪級數和付式級數 展開法,一、數項級數的審斂法,二、求冪級數收斂域的方法,第十一章,(在收斂域內進行),基本問題：判別斂散；,求收斂域；,求和函數；,級數展開.,為傅立葉級數.,為傅氏系數) 時,,時為數項級數;,時為冪級數;,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,一、數項級數

2、的審斂法,1. 利用部分和數列的極限判別級數的斂散性,2. 正項級數審斂法,,必要條件,發(fā) 散,,滿足,比值審斂法,根值審斂法,,收 斂,發(fā) 散,,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 任意項級數審斂法,為收斂級數,Leibniz判別法: 若,且,則交錯級數,收斂 ,,概念:,且余項,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1

3、. 若級數,均收斂 , 且,證明級數,收斂 .,證:,則由題設,收斂,,收斂,,收斂,練習題: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解答提示:,P257 題2. 判別下列級數的斂散性:,提示: (1),據比較判別法, 原級數發(fā)散 .,因調和級數發(fā)散,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,利用比值判別法, 可知原級數發(fā)散.,用

4、比值法, 可判斷級數,因 n 充分大時,∴原級數發(fā)散 .,用比值判別法可知:,時收斂 ;,時, 與 p 級數比較可知,時收斂;,時發(fā)散.,再由比較法可知原級數收斂 .,,時發(fā)散.,發(fā)散,,收斂,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,P257 題3. 設正項級數,和,也收斂 .,提示: 因,?存在 N > 0,,又因,利用收斂級數的性質及比較判斂法易知結論正確.,都收斂, 證明級數,當n >N 時,機動

5、 目錄 上頁 下頁 返回 結束,P257 題4. 設級數,收斂 , 且,是否也收斂？說明理由.,但對任意項級數卻不一定收斂 .,問級數,提示: 對正項級數,由比較判別法可知,級數,收斂 ,,收斂,,級數,發(fā)散 .,例如, 取,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,P257 題5.討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:,提示: (1),P >1 時, 絕對收斂 ;,0 < p ≤1 時, 條件

6、收斂 ;,p≤0 時, 發(fā)散 .,(2) 因各項取絕對值后所得強級數,,原級數絕對收斂 .,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,因,單調遞減, 且,但,所以原級數僅條件收斂 .,由Leibniz判別法知級數收斂 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,因,,,所以原級數絕對收斂 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、求冪級數收斂域的方法,? 標準形式冪級數: 先求收

7、斂半徑 R ,,再討論,? 非標準形式冪級數,通過換元轉化為標準形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性 .,P257 題7. 求下列級數的斂散區(qū)間:,練習:,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解:,當,因此級數在端點發(fā)散 ,,時,,時原級數收斂 .,故收斂區(qū)間為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解: 因,故收斂區(qū)間為,級數收斂;,一般項,不趨于0,,,級數發(fā)散;,機動 目錄 上頁

8、 下頁 返回 結束,例2.,解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數,極限不存在,,∵ 原級數 =,∴ 其收斂半徑,注意:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,? 求部分和式極限,三、冪級數和函數的求法,,求和,? 映射變換法,,逐項求導或求積分,,,對和式積分或求導,,,直接求和: 直接變換,,間接求和: 轉化成冪級數求和, 再代值,求部分和等,? 初等變換法: 分解、套用公式,（在收斂區(qū)間內）,?

9、 數項級數 求和,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,例3. 求冪級數,法1 易求出級數的收斂域為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,法2,先求出收斂區(qū)間,則,設和函數為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,練習:,解: (1),顯然 x = 0 時上式也正確,,故和函數為,而在,x≠0,P258 題8. 求下列冪級數的和函數：,級數發(fā)散,,機動

10、目錄 上頁 下頁 返回 結束,(4),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,顯然 x = 0 時, 和為 0 ;,根據和函數的連續(xù)性 , 有,x = ?1 時,,級數也收斂 .,即得,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,練習:,解: 原式=,的和 .,,,P258 題9(2). 求級數,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,四、函數的冪級數和付式級數展開法,?

11、 直接展開法,? 間接展開法,練習:,1. 將函數,展開成 x 的冪級數.,— 利用已知展式的函數及冪級數性質,— 利用泰勒公式,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,1. 函數的冪級數展開法,2. 設,,, 將 f (x)展開成,x 的冪級數 ,,的和. ( 01考研 ),解:,于是,并求級數,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2.

12、 函數的付式級數展開法,系數公式及計算技巧;,收斂定理;,延拓方法,練習:,上的表達式為,將其展為傅氏級數 .,P258 題11. 設 f (x)是周期為2?的函數,,它在,解答提示,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考: 如何利用本題結果求級數,根據付式級數收斂定理 , 當 x = 0 時, 有,提示:,P257 6 (2); 7 (3); 8 (2),(3) ;