復變函數復習資料

1、(一)復數的概念復數的概念1.1.復數的概念復數的概念：，是實數..zxiy??xy????ReImxzyz??21i??注：一般兩個復數不比較大小，但其模（為實數）有大小.①兩個復數相等，當且僅當它們的實部與虛部分別相等。②一個復數等于零，當且僅當它的實部與虛部同時等于零。③稱復數xiy和xiy互為共軛復數。2.2.復數的表示復數的表示1）模：）模：；22zxy??2）幅角）幅角：在時，矢量與軸正向的夾角，記為（多值0z?x??Arg

2、z函數）；主值是位于中的幅角。（有無窮個值，??argz???20??Argz是復數z的輻角的主值=2kπ??argz??Argz??argz3）與之間的關系如下：??argzarctanyx當；0x?argarctanyzx?當；0argarctan00argarctanyyzxxyyzx????????????????4）三角表示）三角表示：，其中；注：中間一定是)sin(cosz??ir??)(rzgA??“”號。（r=|z|）5

3、）指數表示）指數表示：，其中。?ire?z)(rzgA??(二)復數的運算1.1.加減法加減法：若，則111222zxiyzxiy????????121212zzxxiyy?????2.2.乘除法乘除法：2⑵對數函數對數函數：（多值函數）；i2lnnπkzzL??(012)k????主值：。（單值函ln(arg2)Lnzzizk????(012)k????lnlnargzziz??數）的每一個主值分支在除去原點及負實軸的平面內處處解Ln

4、zlnzz析，且；??1lnzz??注：負復數也有對數存在。（與實函數不同）3）乘冪與冪函數）乘冪與冪函數：Lnze???z4）三角函數）三角函數：sincossincost22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizz????????在平面內解析，且sincoszzz????sincoscossinzzzz?????注：有界性不再成立；（與實函數不同）sin1cos1zz??雙曲函數雙曲函數；22zzzzeeees

5、hzchz??????奇函數，是偶函數。在平面內解析，且shzchzshzchzz。????shzchzchzshz????導數導數1復變函數的導數復變函數的導數1）點可導：）點可導：=；??0fz?????000limzfzzfzz??????2）區(qū)域可導區(qū)域可導：在區(qū)域內點點可導。??fz2解析函數的概念解析函數的概念1）點解析：在及其的鄰域內可導，稱在點解析；??fz0z0z??fz0z2）區(qū)域解析：在區(qū)域內每一點解析，稱在區(qū)域內