含參不等式恒成立問題的求解策略

1、含參不等式恒成立問題的求解策略含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題含參不等式恒成立問題”把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數與方程函數與方

2、程”、“化歸與轉化歸與轉化”、“數形結合數形結合”、“分類討論分類討論”等數學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，等數學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談談這類問培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談談這類問題的一般求解策略。題的一般求解策略。一、判別式法一、判別式法若所求問題可轉化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，若所求問題可轉化為二次不等式，則可考

3、慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數對于二次函數有)0()(2Rxacbxaxxf?????1）對恒成立恒成立0)(?xfRx????????00a2）對恒成立恒成立0)(?xfRx?.00???????a例1已知函數已知函數的定義域為的定義域為R，求實數，求實數的取值范圍。的取值范圍。])1(lg[22axaxy????a解：由題設可將問題轉化為不等式解：由題設可將問題轉化為不等式對恒成立，即有恒成立，即有0)1(22????ax

4、axRx?解得解得所以實數所以實數的取值范圍為的取值范圍為04)1(22?????aa311???aa或a。)31()1(??????若二次不等式中若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。x例2設，當，當時，時，恒成立，求實數恒成立，求實數的22)(2???mxxxf)1[????xmxf?)(m取值范圍。取值范圍。解：設解：設，則當，則當時，時，恒成立恒成立mmxxxF??

5、??22)(2)1[????x0)(?xF當時，時，顯然成立；顯然成立；120)2)(1(4????????mmm即0)(?xF當時，如圖，時，如圖，恒成立的充要條件為：恒成立的充要條件為：0??0)(?xF解得解得。???????????????1220)1(0mF23????m綜上可得綜上可得實數實數的取值范圍為的取值范圍為。m)13[?Oxyx11）恒成立恒成立為參數）aagxf)(()(?max)()(xfag??2）恒成立恒成

6、立為參數）aagxf)(()(?max)()(xfag??實際上，上題就可利用此法解決。實際上，上題就可利用此法解決。略解：略解：在時恒成立，只要時恒成立，只要在022???axx)1[???xxxa22???時恒成立。而易求得二次函數時恒成立。而易求得二次函數在上的最大值為上的最大值為)1[???xxxxh2)(2???)1[??，所以，所以。3?3??a例5已知函數已知函數時恒成立，恒成立，求實數求實數的取的取]40(4)(2???

7、?xxxaxxf0)(?xfa值范圍。值范圍。解：解：將問題轉化為將問題轉化為對恒成立。恒成立。xxxa24??]40(?x令，則，則xxxxg24)(??min)(xga?由可知可知在上為減函數，故上為減函數，故144)(2????xxxxxg)(xg]40(0)4()(min??gxg∴即的取值范圍為的取值范圍為。0?aa)0(??注：分離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。注：分離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利

8、得到解決。四、變換主元法四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數變量處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數變量進行進行“換位換位”思考，往往會使問題降次、簡化。思考，往往會使問題降次、簡化。例6對任意對任意，不等式，不等式恒成立，求恒成立，求的取值范的取值范]11[??a024)4(2?????axaxx圍。圍。分析：題中的不等式是關于分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若

9、把的一元二次不等式，但若把看成主元，則問看成主元，則問xa題可轉化為一次不等式題可轉化為一次不等式在上恒成立的問題。上恒成立的問題。044)2(2?????xxax]11[??a解：令解：令，則原問題轉化為，則原問題轉化為恒成立（恒成立（44)2()(2?????xxaxaf0)(?af）。]11[??a當時，可得時，可得，不合題意。，不合題意。2?x0)(?af當時，應有時，應有解之得解之得。2?x??????0)1(0)1(ff31