數學家與函數

1、數學是門高深的學科，它所涉及到的領域也很廣，學好數學可以提高人們的邏輯推理思維能力和形成敏銳的洞察力，在這個世界上，有很多為數學做出貢獻的科學家，他們這都是值得我們學習的人。在笛卡爾引入變量以后，變量和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域?？v覽宇宙，運算天體，探索熱的傳導，揭示電磁秘密，這些都和函數概念息息相關。正是在這些實踐過程中，人們對函數的概念不斷深化?；仡櫼幌潞瘮蹈拍畹陌l(fā)展史，對于剛接觸到函數的初中同學來說，雖然不可能有較深的

2、理解，但無疑對加深理解課堂知識、激發(fā)學習興趣將是有益的。最早提出函數（function）概念的，是17世紀德國數學家萊布尼茨。最初萊布尼茨用“函數”一詞表示冪，如都叫函數。以后，他又用函數表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標。1718年，萊布尼茨的學生、瑞士數學家貝努利把函數定義為：“由某個變量及任意的一個常數結合而成的數量?！币馑际欠沧兞縳和常量構成的式子都叫做x的函數。貝努利所強調的是函數要用公式來表示。后來數學家覺得不應該

3、把函數概念局限在只能用公式來表達上。只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個變量的關系是否要用公式來表示，就不作為判別函數的標準。1755年，瑞士數學家歐拉把函數定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數?！痹跉W拉的定義中，就不強調函數要用公式表示了。由于函數不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標系的曲線也叫函數。他認為：“函

4、數是隨意畫出的一條曲線?！碑敃r有些數學家對于不用公式來表示函數感到很不習慣，有的數學家甚至抱懷疑態(tài)度。他們把能用公式表示的函數叫“真函數”，把不能用公式表示的函數叫“假函數”。1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現了自變量一詞。1834年，俄國數學家羅巴契夫斯

5、基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化。函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的?！边@個定義指出了對應關系（條件）的必要性，利用這個關系，可以來求出每一個x的對應值。1837年，德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個

6、完全確定的值與之對應，則y是x的函數?！边@個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只須有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖像或表格或其他形式。這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便。因此，這個定義曾被比較長期的使用著。自從德國數學家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對應關系來定義函數概念就是現在高中課本里用的了。中文數學書上使用的“函數”

7、一詞是轉譯詞。是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1895年）一書時，把“function”譯成“函數”的。中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數?！敝袊糯锰?、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變量。這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數?！彼浴昂瘮怠笔侵腹嚼锖凶兞康囊馑肌Ｎ覀兛梢灶A計到，關于函數的爭論、研究、發(fā)展、拓廣將不會完結，也

8、正是這些影響著數學及其相鄰學科的發(fā)展。另外，函數的發(fā)展主要可以分為以下的幾個階段：１.早期函數概念——幾何觀念下的函數十七世紀伽俐略(GGalileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數或稱為變量的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉

9、一般的函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義，絕大部分函數是被當作曲線來研究的。２.十八世紀函數概念——代數觀念下的函數1718年約翰貝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義：由任一變量和常數的任一形式所構成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數”，表示為，其在函數概念中所說的任一形式，包

10、括代數式子和超越式子。18世紀中葉歐拉(LEuler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。他把約翰貝努利給出的函數定義稱為解析函數，并進一步把它區(qū)分為代數函數（只有自變量間的代數運算）和超越函數（三角函數、對數函數以及變量的無理數冪所表示的函數），還考慮了“隨意函數”（表示任意畫出曲線的函數），不難看出，歐拉給出的函數定

11、義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。３.十九世紀函數概念——對應關系下的函數1822年傅里葉(Fourier，法，1768－1830)發(fā)現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變量開始給出了函數的定義，同時指出，雖然無窮級數是規(guī)定函數的一種有效方法，但是對函數來說不

12、一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數學家狄利克雷。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數?！钡依死椎暮瘮刀x，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數

13、學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義。等到康托爾(Cant，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義，通過集合概念，把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。４.現代函

14、數概念——集合論下的函數1914年豪斯道夫(FHausdff)在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數。其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合a，b，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現代函數定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個

15、函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數的現代定義形式，但這并不意味著函數概念發(fā)展的歷史終結，20世紀40年代，物理學研究的需要發(fā)現了一種叫做Dirac－δ函數，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來的函數和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數概念的引入，把函數、測度及以上所述的Dirac－δ函數等概念統(tǒng)一了起來。因此，隨著以數學為基礎的其他學