工程電磁場(chǎng)序章矢量分析

1、標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng),標(biāo)量場(chǎng)的梯度,矢量場(chǎng)的通量與散度,矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度,亥姆霍茲定理,電磁場(chǎng)的特殊形式,第0章 矢量分析,下 頁(yè),返 回,Vector Analysis,矢量分析主要包含矢量代數(shù)、正交坐標(biāo)系和矢量微積分，場(chǎng)的理論是通過矢量分析來表述的，所以矢量分析與場(chǎng)論密不可分。 首先介紹場(chǎng)的數(shù)學(xué)概念和表示方法，討論場(chǎng)的場(chǎng)域性質(zhì)和場(chǎng)點(diǎn)性質(zhì)及其表述方法，著重討論標(biāo)量場(chǎng)的梯度、矢量場(chǎng)的散度和旋度的物理概念和運(yùn)算規(guī)律，最后介紹總結(jié)

2、矢量場(chǎng)性質(zhì)的亥姆霍茲定理。,正交坐標(biāo)系（Orthogonal Coordinate System）,單位矢量,任意矢量A在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式,長(zhǎng)度元矢量,體積元,面積元,長(zhǎng)度元,dlx = dx,dly = dy,dlz = dz,單位矢量,任意矢量A在圓柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式,長(zhǎng)度元,面積元,體積元,圓柱坐標(biāo)系的體積元,球坐標(biāo)系,單位矢量,任意矢量A在球坐標(biāo)系下的表達(dá)式,長(zhǎng)度元,面積元,體積元,球坐標(biāo)系的體積元,1. 矢量加減運(yùn)算,則

3、,,設(shè),2. 矢量點(diǎn)乘與叉乘,矢量運(yùn)算,場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量。,例如，在直角坐標(biāo)下：,0.1 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng),標(biāo)量場(chǎng),矢量場(chǎng),如流速場(chǎng)、電場(chǎng)、渦流場(chǎng)等。,Scalar Field and Vector Field,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,其方程為:,圖0.1.1 等高線,(1) 標(biāo)量場(chǎng)--等值線(面),形象描繪場(chǎng)分布的工具——場(chǎng)線,思考,在某一高度上沿什么方向高度變化最快？,下 頁(yè)

4、,上 頁(yè),返 回,三維場(chǎng),二維場(chǎng),圖0.1.2 矢量線,(2) 矢量場(chǎng)--矢量線,其方程為：,在直角坐標(biāo)下：,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,0.2 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 Gradient of Scalar Field,設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)? (x，y，z)，若函數(shù) ? 在點(diǎn) P 可微，則 ? 在點(diǎn)P 沿任意方向 的方向?qū)?shù)為,設(shè),式中 , , 分別是任一方向 與 x, y, z 軸的夾角,則有：,當(dāng)

5、 ， 最大,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,——梯度(gradient),——哈密頓算子,式中,圖0.1.3 等溫線分布,梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。,梯度的大?。＃樵擖c(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即方向?qū)?shù)的最大值。,,標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。,梯度的意義,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例 0.2.1 電位場(chǎng)的梯度,圖0.2.1 電位場(chǎng)的梯度,電位場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；,數(shù)值等于

6、該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；,指向電位增加的方向。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,0.3 矢量場(chǎng)的通量與散度,0.3.1 通量 ( Flux ),矢量E 沿有向曲面 S 的面積分,若 S 為閉合曲面 根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：,Flux and Divergence of Vector,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,圖0.3.1 矢量場(chǎng)的通量,0.3.2 散度 ( Divergence ),———散度

7、(divergence),,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,散度的意義,在矢量場(chǎng)中，若?? A= ?? 0，稱之為有源場(chǎng)，? 稱為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場(chǎng)中處處 ?? A=0 ，稱之為無源場(chǎng)。,矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；,散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem ),——高斯公式,矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。,下 頁(yè),上 頁(yè),返

8、回,0.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度,0.4.1 環(huán)量 ( Circulation ),矢量 A 沿空間有向閉合曲線 L 的線積分,——環(huán)量,環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。,,Circulation and Rotation of Vector Field,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,圖0.4.1 環(huán)量的計(jì)算,水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)，?= 0，無渦旋運(yùn)動(dòng)。,例：流速場(chǎng),圖0.4.2 流速場(chǎng),流體做渦旋運(yùn)

9、動(dòng)，?? 0，有產(chǎn)生渦旋的源。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,0.4.2 旋度 ( Rotation ),1. 環(huán)量密度,過點(diǎn) P 作一微小曲面 ?S，它的邊界曲線記為?L，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng) ?S ?點(diǎn) P 時(shí)，存在極限,——環(huán)量元密度,環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,2. 旋度,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,在直角坐標(biāo)下:,－ S 的法線方向,它與環(huán)量密度的關(guān)系為,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,——旋度

10、(curl),3. 旋度的物理意義,矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。,某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值；其方向是最大環(huán)量密度的方向。,在矢量場(chǎng)中，若 ??A=J? 0 稱之為旋度場(chǎng)（或渦旋場(chǎng)），J 稱為旋度源（或渦旋源）。,若矢量場(chǎng)處處 ??A= 0 ，稱之為無旋場(chǎng)。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,4. 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem ),矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。,——斯托克斯定理,下 頁(yè),上 頁(yè)

11、,返 回,0.5 亥姆霍茲定理,亥姆霍茲定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。,已知：,Hymherze Theorem,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例 0.5.1 試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,0.6 特殊形式的電磁場(chǎng),如果在經(jīng)過某一軸線( 設(shè)為 z 軸）的一族平行平面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F= f（x，y），則稱這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。,1. 平行平面場(chǎng),

12、Special Forms of Electromagnetic Field,如無限長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,0,如果在經(jīng)過某一軸線 ( 設(shè)為 z 軸 )的一族子午面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F=f（ρ, z），則稱這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱場(chǎng)。,2. 軸對(duì)稱場(chǎng),如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)；有限長(zhǎng)直帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,3. 球面對(duì)稱場(chǎng),如果在一族同心球面上（設(shè)球心在原點(diǎn)），場(chǎng) F 的分布都相同 ，即