的聯(lián)合概率分布

1、6 二維隨機變量及其分布,,在實際問題中, 試驗結果有時需要同,時用兩個或兩個以上隨機變量來描述.,例如 用溫度和風力來描述天氣情況.,通過對含碳、含硫、含磷量的測定來研究,鋼的成分. 要研究這些 隨機變量之間的聯(lián)系, 就需考慮多維 隨機變量及其取值規(guī)律——多維分布.,一、二維隨機變量,定義： 設?為隨機試驗的樣本空間，,則稱( X , Y )為二維隨機變量。,討論： a. 二維r.v.作為一個整體的概率特性；

2、 b. 其中每一個r.v.的概率特性、與整體 概率特性之間的關系。,定義 若二維 r.v.(X ,Y )所有可能的取值 為有限個或無窮可列個, 則稱 (X ,Y ) 為二維離散型 r.v.。,a. 用聯(lián)合概率分布來描述二維離散型 r.v.的整體概率特性；b. 用邊緣概率分布來描述整體與每個 r.v.之間的關系。,1. 二維離散型 r.v.及其概率特性,聯(lián)合概率分布

3、,設( X ,Y )的所有可能的取值為,則稱,為二維 r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合概率分布，也簡稱為 概率分布 或 分布律。,注：,y1 yj,( X ,Y ) 的聯(lián)合概率分布,二維離散型 r.v.的邊緣概率分布,由聯(lián)合分布可確定邊緣分布,其逆不真.,1,y1 yj,聯(lián)合分布律,及邊緣分布律,例：某校新選出的學生會 6 名女委員, 文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，現(xiàn)從中隨

4、機指定 2 人為學生會主席候選人. 令X , Y 分別為候選人中來自文、理科的人數.求(X, Y) 的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.,解： X 與Y 的可能取值分別為0 , 1與0 , 1 , 2.,由乘法公式：,或由古典概型：,同理有：,故聯(lián)合分布律與邊緣分布律為,0 1,0 1 2,3/15 6/15 1/15,3/15 2/15 0,pi?,p? j,1/3,

5、2/3,1,6/15 8/15 1/15,二維隨機變量的聯(lián)合分布函數,定義：設( X , Y ) 為二維 r.v. ,對任何一對實數( x , y ), 事件,定義了一個二元,實函數 F ( x , y )，稱為二維 r.v.( X ,Y ) 的分布函數，即,(記為 ),的概率,聯(lián)合分布函數的幾何意義,如果用平面上的點 (x, y) 表示二維r.v.,(X , Y )的一組可能的取值，

6、則 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入圖所示角形區(qū)域的概率.,(x, y),聯(lián)合分布函數的性質,,(x, y),,,,,,,,,①,,,固定 x , 對任意的 y1< y2 ,,固定 y , 對任意的 x1< x2 ,,F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ),F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ),F (x, y1) ? F (x, y2),F (x1,y

7、) ? F (x2, y),F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) ? 0,事實上,– F (b,c),– F (a,d),+ F (a,c),F (b,d),,,,,二維隨機變量的邊緣分布函數,2. 二維連續(xù) r.v.及其概率特性,定義 設二維 r.v.( X ,Y )的分布函數為 F(x ,y ),若存在非負可積函數 p(x,y) , 使得對于任意實數 x

8、 , y 有,則稱( X ,Y ) 為二維連續(xù)型 r.v. p(x,y) 為( X ,Y ) 的聯(lián)合概率密度函數,簡稱概率密度函數,簡記 p.d.f.,聯(lián)合密度與聯(lián)合分布函數的性質,3. 對每個變元連續(xù), 在 的連續(xù)點處，,P( X = a ,- ? < Y < + ? ) = 0,P(- ? < X < + ?, Y= a ) = 0,5. 若G 是平面上的區(qū)域，則,4. P( X =

9、a ,Y = b ) = 0,邊緣分布函數與邊緣密度函數,與離散型相同,已知聯(lián)合分布可以求得邊緣分布；反之則不能唯一確定.,例：設 r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合 d.f. 為,其中k 為常數. 求：,常數 k ; P ( X + Y ? 1) , P ( X < 0.5);(3)邊緣密度函數 .,解：令,(1),,,(2),,,0.5,,,,,,,二、隨機變量的獨立性,—— 將事件獨立性推廣到

10、 隨機變量的獨立性,X與Y 獨立,,即,連續(xù)型,,二維隨機變量 ( X, Y ) 相互獨立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布。,對一切 i , j 有,離散型,X與Y 獨立,對任何 x ,y 有,例： 已知 ( X, Y ) 的聯(lián)合密度函數為,(1),(2),討論X ,Y 是否獨立？,例1,解：,(1) 由圖知邊緣密度函數為,顯然，,故 X ,Y 相互獨立,,,(2) 由圖知邊緣密度函數為,顯然，,故 X ,Y 不獨立,,,三、協(xié)方差

11、和相關系數,對于二維隨機變量(X ,Y )，當它們不相互獨立時：,已知聯(lián)合分布,,邊緣分布,此時表明X和Y之間存在某種聯(lián)系。 問題：用一個怎樣的數值去反映這種聯(lián)系？,數,反映了隨機變量 X , Y 之間的某種關系,稱,為 X ,Y 的協(xié)方差. 記為：,稱,為（X , Y ）的協(xié)方差矩陣。,協(xié)方差和相關系數的定義,定義,定義,若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,稱,為X ,Y 的 相關系數，記

12、為,事實上，,協(xié)方差和相關系數的計算公式,求 cov (X ,Y ), ?XY,解：,例1,,,例：設 r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合密度函數為,相關系數的性質,系性質,E (C ) = C,E (aX ) = a E (X ),E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),,,當X ,Y 獨立時，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,數學期望的性質,期望性質,四、期望與方差的性質,D (C) = 0,D

13、(aX ) = a2D(X),,D(aX+b ) = a2D(X),特別地，若X ,Y 相互獨立，則,方差的性質,性質,X ,Y 相互獨立,,X , Y 不相關,五、獨立隨機變量之和的分布,Z = X + Y,設( X ,Y )的聯(lián)合d.f.為 f (x,y), 則,,,x +y= z,或,特別地，若X ,Y 相互獨立，則,或,稱之為函數 f X ( z) 與 f Y ( z)的卷積,例： 已知( X ,Y ) 的聯(lián)合d.f.為,Z =