幾何凸函數(shù)的定義、性質和應用-faumath

1、<p>　　幾何凸函數(shù)的定義、性質和應用</p><p><b>　　張小明</b></p><p>　　（浙江海寧電大 314400）</p><p><b>　　前 言</b></p><p>　　控制不等式作為一門新興的學科是近幾年的事，歸功于A.W.Marshall和I.Ol

2、kin在1979年，出版了著名的書“Inequalities:Theory of Majorization and Its Applications”，詳情也可參考書[1]．而后世界各地的學者在控制不等式上的研究非?；钴S，國內外的研究成果部分可參考[2]．但到目前為止，控制不等式主要建立在凸函數(shù)和Schur-凸函數(shù)上，而凸函數(shù)概念本身有許多推廣（可見[3]和[16]），對于建立在其余凸函數(shù)的控制不等式，則很少見到．本文的目的是把凸函數(shù)的

3、控制不等式的理論和方法，平行地推廣到一種名為幾何凸函數(shù)上去，同樣能用一種統(tǒng)一的方法方便地推導一些已知的不等式，同時也能得到一些新的不等式，所以它的應用范圍是廣泛的．凸函數(shù)與幾何凸函數(shù)在定義上是平行的，在應用上各有千秋，一個不等式有時用凸函數(shù)的性質來證明比較簡單一些，有時則反之；同樣構造發(fā)明一個不等式時,用凸函數(shù)的性質有時要強，有時則用幾何凸函數(shù)的性質得到的結果要強；當一個函數(shù)既是凸函數(shù)又是幾何凹函數(shù)時，則同時能得到它的上下界，豈不美哉？

4、從某種角度上看，凸函數(shù)的控制理論和方法</p><p>　　關于幾何凸函數(shù)，最先的定義是在[4]中出現(xiàn)的，文[4]中定義一類了幾何下凸函數(shù)，并提出了有關其等價性定義的幾個猜想，文[5]-[8]分別解決這幾個猜想，且[7]還討論幾何凸函數(shù)的定義域和值域，文[8]開始把原定義改名為幾何凸函數(shù)．在文[9]中，提出了對數(shù)控制這個概念，得到了國內第一個幾何凸函數(shù)的控制不等式，由于與控制相聯(lián)系了，幾何凸函數(shù)的研究踏上了新的里

5、程．文[10]給出國內第一個一維幾何凸函數(shù)的微分判據(jù)．同時[11]也開始了幾何凸函數(shù)的研究，其也是國外第一個定義幾何凸函數(shù)的，把幾何凸函數(shù)定義為GG-凸函數(shù)或積凸函數(shù)（這與楊定華在[5][6]中的名稱是一樣的），也得到了幾個定義的等價性，一維幾何凸函數(shù)的微分判據(jù)，引入對數(shù)控制概念，與控制相聯(lián)系進行研究．[13]利用幾何凸函數(shù)的性質，得到了一個有關排序的不等式，[14]定義了N維幾何凸函數(shù)，得到了Holder不等式的一個簡單證明，[15]

6、指出了[9][11]中的一個定理與Karamata控制不等式是等價的．在這幾篇文中涉及到應用的方面，[9][11][14]作得比較好，特別是[14]，因例子比較豐富，更使讀者相信幾何函數(shù)是一個重要的一個概</p><p>　　本文的目的是全方位反映到目前為止幾何凸函數(shù)的研究成果，同時也溶進筆者研究的一些結果，為了讓讀者更輕松閱讀，賦與一些有一定價值的實例．由于本人對兩個向量相互控制使用技巧不成熟，所以完全相信有許

7、多優(yōu)越的不等式還沒有被發(fā)現(xiàn)，希有識之士能探索和研究這個新領域．</p><p>　　本文的部分內容已在中國不等式研究小組的網(wǎng)站（http://zgbdsyjxz.nease.net）上公布過，以后先后得到了中國不等式研究小組成員楊路教授、石煥南教授、蕭振綱付教授、張晗方付教授、趙長健付教授、楊定華老師、楊志明老師、李康海老師和吳裕東老師的幫助；特別是石煥南教授數(shù)十次郵寄資料給筆者，滿足筆者的各種要求，這是一般人難

8、于做到的，在此表示真誠的謝意．浙江電大海寧分校的領導對筆者的學術研究，一貫給予精神上和物質上的支持，在此也表示感謝.為了趕時間評職稱，此文從構思到成文是倉促中進行的，之中一定有許多不盡人意的地方，煩請讀者一一指點給本人(zjzxm79@sohu.com).</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]王伯英．控制不等式基礎[M]．北京：北京

9、師范大學出版社，1990．</p><p>　　[2]石煥南．控制不等式參考文獻．不等式研究通訊（中國不等式研究小組主辦），2003（1）：23-27．</p><p>　　[3]匡繼昌．常用不等式（第二版）[M]．長沙：湖南科技出版社，1993（5）．</p><p>　　[4]張承宇． 廣義凸函數(shù)性質初探． 中學數(shù)學[J] 1998(4)． </p>

10、<p>　　[5]楊定華．關于積凸（凹）函數(shù)的幾個不等式．研究通訊，1998（4）．</p><p>　　[6]楊定華．關于積凸函數(shù)幾個不等式的加強．研究通訊，1999（2）．</p><p>　　[7]李世杰． 廣義凸函數(shù)定義和性質之我見． 中學數(shù)學 ,1999(5) ．</p><p>　　[8]單寶良．關于幾何凸函數(shù)、調和凸函數(shù)和平方凸函數(shù)．中學

11、教研，1999（8）</p><p>　　[9]楊定華．有關積凸函數(shù)的一個不等式（不等式研究[M]）（楊學枝主編）,西藏：西藏人民出版社，2000，71-74．</p><p>　　[10]于小平． 談廣義凸函數(shù)． 第四屆初數(shù)會． 2000(8) </p><p>　　[11]CONSTANTIN P.NICULESCU.CONVEXITY TO THE GEOME

12、TRIC MEAN.</p><p>　　Mathematical Inequalities & Applications .2000(2):155-167.[12]沈文選 ．廣義凸函數(shù)的簡單性質 ．中學數(shù)學 ．2000(12) ．[13]趙小云 ,李世杰． 幾何凸函數(shù)的若干性質． 數(shù)學通訊, 2003(5)</p><p>　　[14]楊定華．關于幾何凸函數(shù)的不等式[J]．河