極限的計(jì)算方法與技巧畢業(yè)論文

1、<p>　　江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文</p><p>　　極限的計(jì)算方法與技巧</p><p>　　Limit calculation method and skill</p><p>　　姓 名： </p><p>　　學(xué) 號(hào)： 090 1 &l

2、t;/p><p>　　學(xué) 院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院</p><p>　　專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　指導(dǎo)老師： （講師） </p><p>　　完成時(shí)間：2013年3月9日 </p><p>　　極限的計(jì)算方法與技巧</p><p><b>

3、　　***</b></p><p>　　【摘要】極限的概念是高等數(shù)學(xué)中最重要、最基本的概念之一，并且在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中占有十分重要的位置。許多重要的數(shù)學(xué)概念如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)的和及廣義積分等都是用極限來(lái)定義的，因此掌握好極限的計(jì)算方法與技巧是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)相當(dāng)關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)。雖然極限的計(jì)算方法比較多，但都不是萬(wàn)能的。因此對(duì)于某個(gè)具體的極限的計(jì)算問(wèn)題，我們應(yīng)該要去追求最簡(jiǎn)便、快捷的計(jì)算方法。本文介

4、紹了極限計(jì)算的一些方法與技巧并通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明了。有關(guān)的命題和結(jié)論在文中也均有說(shuō)明。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】極限，計(jì)算方法，技巧</p><p>　　Limit calculation method and skill</p><p><b>　　*****</b></p><p>　　【Abstract】The

5、 concept of limit is the most important in higher mathematics, one of the most basic concepts, and occupies very important position in the middle of the higher mathematics. Many important mathematical concepts such as co

6、ntinuous, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral and is done with the limit to define, so mastering limit calculation method and the skill is to learn higher mathematics is one of the key

7、 step. Although the calculation method of limit</p><p>　　【Key words】Limits, calculation method, skill</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p>

8、<p>　　2 函數(shù)極限的相關(guān)定義與定理2</p><p>　　2.1 極限的相關(guān)定義2</p><p>　　2.2 極限的相關(guān)定理3</p><p>　　3 極限的幾個(gè)重要性質(zhì)4</p><p>　　3.1 函數(shù)極限的相關(guān)性質(zhì)4</p><p>　　3.2 收斂數(shù)列的一些性質(zhì)5</p>

9、;<p>　　4 極限的計(jì)算方法與技巧及舉例說(shuō)明5</p><p>　　4.1 利用定義法求極限5</p><p>　　4.2 利用四則運(yùn)算法則求極限6</p><p>　　4.3 利用兩個(gè)重要極限求極限6</p><p>　　4.4 利用等價(jià)無(wú)窮小求極限6</p><p>　　4.5 利用函數(shù)

10、的連續(xù)性求極限7</p><p>　　4.6 利用定積分求極限7</p><p>　　4.7 利用洛必達(dá)法則求極限7</p><p>　　4.8 利用泰勒展開(kāi)式或麥克勞林公式求極限8</p><p>　　4.9 利用遞推的方法求極限8</p><p>　　4.10 拆項(xiàng)相消法9</p><

11、;p>　　4.11 利用迫斂性求極限9</p><p>　　4.12 利用中值定理法求極限10</p><p>　　4.13 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限10</p><p>　　4.14 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限11</p><p>　　4.15 化積為商法求極限11</p><p>　　4.16 構(gòu)造新數(shù)

12、列法求極限11</p><p>　　4.17 Euler常數(shù)法11</p><p><b>　　5 總結(jié)12</b></p><p><b>　　致 謝12</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：12</b></p><p><b

13、>　　1 引言</b></p><p>　　在高等數(shù)學(xué)中，極限思想貫穿始末，而且極限也是數(shù)學(xué)分析中的基本運(yùn)算，所以極限的計(jì)算方法與技巧在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里顯得尤為重要。極限計(jì)算的方法與技巧多種多樣，常用的極限計(jì)算方法有利用極限的定義求極限、利用極限的四則運(yùn)算法則求極限、利用兩個(gè)重要極限求極限、利用等價(jià)無(wú)窮小求極限、利用定積分的概念求極限、利用洛必達(dá)法則求極限等.但是每種方法都有其局限性，都不是萬(wàn)能的。因

14、此在具體解題的時(shí)候就需要大家注意仔細(xì)審題、綜合考慮, 同時(shí)也要注意解題的方法性及技巧性, 與極限的計(jì)算有關(guān)的問(wèn)題類型多，而且技巧性強(qiáng)，靈活多變，難教也難學(xué)。本文主要探討并總結(jié)了一些極限的計(jì)算方法與技巧，對(duì)極限的計(jì)算有一定的參考價(jià)值，克服了許多學(xué)生在面對(duì)極限計(jì)算的問(wèn)題無(wú)從下手的缺點(diǎn)，能夠做到得心應(yīng)手。</p><p>　　2 函數(shù)極限的相關(guān)定義與定理</p><p>　　2.1 極限的相關(guān)定

15、義</p><p>　　定義1 設(shè)為定數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有</p><p>　　則稱數(shù)列 收斂于,定數(shù)稱為數(shù)列的極限,并記作</p><p><b>　　，或，</b></p><p>　　讀作“當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí),的極限等于或趨于”.</p><p>　　若數(shù)列沒(méi)有極限,則稱

16、不收斂,或稱為發(fā)散數(shù)列.</p><p>　　定義2設(shè)為定義在上的函數(shù),為定數(shù).若對(duì)任給的,存在正</p><p><b>　　數(shù),使得當(dāng)時(shí)有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限,記作</p><p><b>

17、;　　或 .</b></p><p>　　定義3（函數(shù)極限的-定義） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)有定義,為定數(shù).若對(duì)任給的,存在正數(shù)（﹤），使得當(dāng)時(shí)有 ，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限,記作</p><p><b>　　或 </b></p><p>　　定義4 設(shè)函數(shù)在（或）內(nèi)有定義,為定數(shù).若對(duì)任給的,存在正數(shù)（﹤），使得當(dāng)時(shí)有

18、 ，則稱數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右（左）極限，記作</p><p>　　或 （）（（））.</p><p>　　右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.在點(diǎn)的右極限與左極限有分別記為</p><p>　?。?0）= 與 （-0）=.</p><p>　　2.2 極限的相關(guān)定理</p><p&

19、gt;<b>　　定理1 .</b></p><p>　　定理 2〔單調(diào)有界定理〕在實(shí)系數(shù)中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限. </p><p>　　定理 3〔歸結(jié)原則〕設(shè)在內(nèi)有定義. 存在的充要條件是:對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列,極限都存在且相等.</p><p>　　注1 歸結(jié)原則也可簡(jiǎn)敘為:</

20、p><p><b>　　對(duì)任何有. </b></p><p>　　注2 若可找到一個(gè)以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個(gè)都以以為極限的數(shù)列，使都存在而不相等，則不存在.</p><p>　　定理4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某空心右鄰域有定義. 的充要條件是：對(duì)任何以為極限的遞減數(shù)列，有.</p><p>　　定理 5〔致密性定理〕有界數(shù)列

21、必存在收斂子列。 </p><p>　　定理 6〔施篤茲定理〕 設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增趨于，（可</p><p><b>　　以為無(wú)窮），則 .</b></p><p>　　定理7〔有界變差數(shù)列收斂定理〕若數(shù)列滿足條件：</p><p>　　則稱為有界變差數(shù)列，且有界變差數(shù)列一定收斂

22、。</p><p>　　定理8 設(shè)為定義在上的單調(diào)有界函數(shù),則右極限存在.</p><p>　　定理9設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有</p><p><b>　　（?。┤魟t</b></p><p><b>　　（ⅱ）若則</b></p><p>　　定理10〔柯西準(zhǔn)則〕設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定

23、義.存在的充要條件是:任給,存在正數(shù),使得對(duì)任何有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理11〔拉格朗日中值定理〕若函數(shù)滿足如下條件:</p><p>　　（ⅰ）在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　　（ⅱ）在開(kāi)區(qū)間〔〕內(nèi)可導(dǎo),則在()內(nèi)至少存在一點(diǎn),使</p><p>&

24、lt;b>　　.</b></p><p>　　定理 12若函數(shù)和滿足：</p><p><b>　　（?。?lt;/b></p><p>　?。áⅲ┰邳c(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；</p><p>　　（ⅲ）（可為實(shí)數(shù)，也可為），</p><p><b>　　則 <

25、/b></p><p>　　定理13 若函數(shù)和滿足：</p><p><b>　?。á。?；</b></p><p>　　（ⅱ）在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；</p><p>　?。á＃蔀閷?shí)數(shù)，也可為），</p><p><b>　　則 </b></p>

26、<p>　　定理14〔積分第一中值定理〕設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則至少存在</p><p><b>　　使得.</b></p><p>　　定理 15〔推廣的積分第一中值定理〕若與都在上連續(xù),且在</p><p>　　上不變號(hào), 則至少存在一點(diǎn)使得</p><p><b>　　.</b>

27、</p><p>　　定理16〔級(jí)數(shù)收斂定理〕若級(jí)數(shù)收斂,則</p><p>　　定理 17〔歐拉定理〕序列收斂.</p><p>　　因此有公式式中稱為歐拉常數(shù),且</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　定理18 〔柯西收斂準(zhǔn)則〕數(shù)列收斂的充要條件是：對(duì)任給的，存在正整

28、數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有.</p><p>　　這個(gè)定理從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問(wèn)題。</p><p>　　3 極限的幾個(gè)重要性質(zhì)</p><p>　　3.1 函數(shù)極限的相關(guān)性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì) 1（唯一性） 如果存在，則必定唯一</p><p>　　性質(zhì) 2（局部有界性） 若存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有界.&

29、lt;/p><p>　　性質(zhì) 3（保序性） 設(shè).</p><p>　　性質(zhì)4（迫斂性）設(shè)，且在某內(nèi)有，則.</p><p>　　性質(zhì)5 (四則運(yùn)算法則) 若與都存在,則函數(shù)，當(dāng)時(shí)極限也存在，且</p><p><b>　　1）；</b></p><p><b>　　2）；</b>

30、</p><p>　　又若，則當(dāng)時(shí)極限存在，且有</p><p><b>　　3）.</b></p><p>　　性 質(zhì) 6 (不等式性) 若，，有，， 成立,則,即.</p><p><b>　　性 質(zhì) 7 若. </b></p><p>　　3.2 收斂數(shù)列的一些性質(zhì)&l

31、t;/p><p>　　性質(zhì)1（唯一性） 若數(shù)列收斂,則它只有一個(gè)極限.</p><p>　　性質(zhì)2（有界性） 若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)有. </p><p>　　性質(zhì)3（保號(hào)性） 若（或）任何（或）</p><p>　　存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有（或）. </p><p>　　性質(zhì)4(保不等式性

32、) 設(shè) 均為收斂數(shù)列.若存在正數(shù),使得當(dāng)</p><p><b>　　時(shí)有，則</b></p><p>　　性質(zhì)5（迫斂性）設(shè)收斂數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足:</p><p>　　存在正數(shù),當(dāng)時(shí)有,則數(shù)列收斂，且.</p><p>　　性質(zhì)6（四則運(yùn)算法則）若與為收斂數(shù)列,則</p><p><

33、;b>　　且有.</b></p><p>　　4 極限的計(jì)算方法與技巧及舉例說(shuō)明</p><p>　　極限一直是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的內(nèi)容，并且極限的求法也是多種多樣的，本文通過(guò)歸納和總結(jié)羅列出一些極限的計(jì)算方法及所隱含的技巧.</p><p>　　4.1 利用定義法求極限</p><p><b>　　例 證明.&l

34、t;/b></p><p><b>　　證 當(dāng)時(shí)有</b></p><p>　　若限制于（此時(shí)0），則1.于是，對(duì)任給的，只要取，則當(dāng)時(shí)，便有</p><p>　　4.2 利用四則運(yùn)算法則求極限</p><p>　　對(duì)和差積商形式的函數(shù)求極限,自然會(huì)想到運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則去計(jì)算,但是為了能夠自然使用這些法則,

35、往往需要先對(duì)函數(shù)作某些恒等變形或化簡(jiǎn),但要采用怎樣的變形和化簡(jiǎn)還是要根據(jù)具體的算式來(lái)確定,一般來(lái)說(shuō)常用的有分式的分解,分式的約分或通分,分子或分母的有理化和三角函數(shù)的恒等變形等. </p><p><b>　　例 求</b></p><p>　　解 分子分母均為無(wú)窮多項(xiàng)的和,應(yīng)分別求和,再用四則運(yùn)算法則求極限</p><p><b&g

36、t;　　原式=</b></p><p>　　4.3 利用兩個(gè)重要極限求極限</p><p>　　兩個(gè)重要極限是，由于該方法主要是利用類似于兩個(gè)重要極限中的函數(shù)形式的特點(diǎn)來(lái)求極限，所以用這兩個(gè)重要極限來(lái)求函數(shù)的極限時(shí)要看所給的函數(shù)形式是否符合或經(jīng)過(guò)變化后符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能運(yùn)用該方法求極限。</p><p><b>　　例（1）求.&l

37、t;/b></p><p><b>　　解 ==.</b></p><p><b>　　2）求.</b></p><p><b>　　解 </b></p><p>　　注 以后還會(huì)用到的另一種極限形式：.</p><p>　　事實(shí)上，令，則，所以

38、</p><p><b>　　例 求.</b></p><p><b>　　解 .</b></p><p>　　4.4 利用等價(jià)無(wú)窮小求極限</p><p>　　若與都是無(wú)窮小量,且時(shí)稱與是等價(jià)無(wú)窮小量表示為.利用性質(zhì)“無(wú)窮小量與有界量的乘積仍然是無(wú)窮小量”可解一些極限值</p>&l

39、t;p><b>　　例 求 </b></p><p>　　解 當(dāng)時(shí)， 為無(wú)窮小量，為有界量</p><p><b>　　故</b></p><p>　　4.5 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限</p><p>　　一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有.</

40、p><p><b>　　例 求</b></p><p>　　解 因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，</p><p><b>　　所以 原式.</b></p><p>　　4.6 利用定積分求極限</p><p>　　利用定積分的定義及牛頓-萊布尼茨公式求極限，可以求一些特定和式的極限，

41、一般來(lái)說(shuō)，利用定積分法求極限可以按照以下步驟進(jìn)行：</p><p>　　將所給的和式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危怪蔀榉e分和的形式.</p><p>　　由變形后的和式尋求出被積函數(shù)及積分區(qū)間.</p><p>　　將和式的極限轉(zhuǎn)化為定積分，再利用牛頓-萊布尼茨公式去計(jì)算.</p><p><b>　　例 求</b></p

42、><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　設(shè),則在內(nèi)連續(xù),</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　所以原式</b></p><p>　　4.7 利用洛必達(dá)法則求極限&l

43、t;/p><p>　　洛必達(dá)法則只有直接適用于未定式，而等類型不定式也可經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變換化為的極限，再用洛必達(dá)法則來(lái)計(jì)算，由于其分類明確，規(guī)律性強(qiáng)，且可以連續(xù)的進(jìn)行運(yùn)算，可以簡(jiǎn)化一些較為復(fù)雜的函數(shù)極限的計(jì)算過(guò)程，但是在運(yùn)用時(shí)也不能忽視其它的一些技巧的運(yùn)用。</p><p><b>　　例（1） 求.</b></p><p>　　解 這是型不定式極限

44、，可直接運(yùn)用洛必達(dá)法則求解，但若做適當(dāng)?shù)淖儞Q，在計(jì)算上可方便一些.為此，令t=，當(dāng)時(shí)有，于是有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例（2） 求.</b></p><p>　　解 這是型不定式極限.用恒等變形將它轉(zhuǎn)化成型的不定式極限，并用洛必達(dá)法則得到</p><p&g

45、t;<b>　　.</b></p><p>　　4.8 利用泰勒展開(kāi)式或麥克勞林公式求極限</p><p>　　若一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式較為復(fù)雜時(shí),看其是否可以展成泰勒展式.若能,則將一個(gè)表達(dá)式很復(fù)雜的函數(shù)化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)無(wú)窮小量的和,而多項(xiàng)式的計(jì)算是較簡(jiǎn)單的,從而此法能簡(jiǎn)化求極限的運(yùn)算.</p><p><b>　　例 求.<

46、/b></p><p>　　解 本題可用洛必達(dá)法則求解，可是較繁瑣，在這里可應(yīng)用泰勒公式求解.考慮到極限式的分母為，則用麥克勞林公式表示極限的分子（取n=4）</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b&

47、gt;</p><p><b>　　因而求得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　4.9 利用遞推的方法求極限</p><p>　　利用遞推公式計(jì)算極限，也是一種常見(jiàn)的方法，在這里首先需要驗(yàn)證極限的存在性，在極限存在的前提條件下，再根據(jù)極限的唯一性，從而解出所需要的結(jié)

48、果.</p><p>　　例 設(shè).考察極限. </p><p>　　解 若極限存在，設(shè)極限值為，在遞推關(guān)系中令得，解之得（另一負(fù)根舍去）.</p><p>　　下證確實(shí)是其極限值. 事實(shí)上，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由此遞推關(guān)系立得<

49、/b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　4.10 拆項(xiàng)相消法</p><p>　　若要求極限當(dāng)可拆成兩項(xiàng)之差時(shí)，可以考慮采用該法先求出和的簡(jiǎn)單形式，再取極限.</p><p><b>　　例 設(shè)，求.</b></p><p><b>

50、;　　解 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　因此可得.</b></p><p>　　4.11 利用迫斂性求極限</p><p>　　利用迫斂性求極限，關(guān)鍵就在于對(duì)原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，并且使得放大和縮小后的式子具有相同的極限.在

51、進(jìn)行放大和縮小的時(shí)候經(jīng)常會(huì)應(yīng)用到不等式的性質(zhì)和一些常見(jiàn)的不等式，因此大家在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)和一些常見(jiàn)的不等式.</p><p>　　例 設(shè). 證明極限存在，并計(jì)算：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證 由于</b></p><p><b

52、>　　，</b></p><p><b>　　兩邊分別取對(duì)數(shù)得</b></p><p><b>　　由此得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即數(shù)列單調(diào)遞減. 此外，</p><p><b>

53、　　.</b></p><p>　　即有下界. 由單調(diào)有界定理可知其收斂，其極限值稱為歐拉常數(shù)，常用表示. </p><p><b>　　由此易得</b></p><p>　　4.12 利用中值定理法求極限</p><p>　　在求函數(shù)的極限時(shí)，若能根據(jù)的特點(diǎn)尋得一個(gè)新的可微函數(shù)再借助中值定理則往往得到巧妙的

54、解法。</p><p><b>　　例 求.</b></p><p>　　解 對(duì)函數(shù)在以和sin（）為端點(diǎn)的閉區(qū)間上用微分中值定理，有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>

55、　　，在與之間.</b></p><p><b>　　因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　例 計(jì)算，其中連續(xù)，且.</p><p>　　解 由積分中值定理有，存在，使得</p><p><b>　　.&

56、lt;/b></p><p>　　4.13 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限</p><p>　　利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限，首先應(yīng)設(shè)級(jí)數(shù)等于所求極限的表達(dá)式.再證明級(jí)數(shù) 是收斂的，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知所求表達(dá)式的極限為0. </p><p>　　例 求 </p><p>　　解 級(jí)數(shù)=， </p>

57、<p>　　故級(jí)數(shù)收斂，于是有=0</p><p>　　4.14 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限</p><p>　　利用導(dǎo)數(shù)的定義把極限的計(jì)算轉(zhuǎn)換為在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).</p><p><b>　　例 求</b></p><p><b>　　解 因?yàn)?</b></p><p&g

58、t;　　4.15 化積為商法求極限</p><p>　　利用化積和商法求極限，一般在計(jì)算的極限時(shí)，若能把各乘積的因子化成商的形式，從而使得某些公式交錯(cuò)出現(xiàn)在分子﹑分母上，則可直接約去公因式就可以得到的簡(jiǎn)單形式，再取其極限值.</p><p><b>　　例 設(shè)，求.</b></p><p><b>　　解 由于</b>&

59、lt;/p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　所以 .</b></p><p>　　4.16 構(gòu)造新數(shù)列法求極限</p><p>　　利用構(gòu)造新數(shù)列法求極限，一般是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)新的便于研究的數(shù)列，把它作為一個(gè)橋梁去研究原數(shù)列，這是數(shù)學(xué)里常用的方法之一.</p&g

60、t;<p>　　例 設(shè)證明數(shù)列收斂，并求極限。</p><p><b>　　解 令，則 </b></p><p><b>　　因?yàn)?</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p&

61、gt;<p>　　即數(shù)列單增有上界，所以數(shù)列收斂，</p><p><b>　　又由于且.</b></p><p><b>　　故數(shù)列收斂，且</b></p><p>　　4.17 Euler常數(shù)法</p><p>　　利用Euler常數(shù)法求極限就是應(yīng)用著名歐拉公式 其中叫做歐拉常數(shù),

62、</p><p><b>　　例 求極限</b></p><p><b>　　解 原式</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　　5 總結(jié)<

63、;/b></p><p>　　在高等數(shù)學(xué)里極限的計(jì)算方法和技巧是十分重要的.本文歸納了函數(shù)極限計(jì)算的一些方法和技巧, 但是在做求解極限類型的題目時(shí)，同學(xué)們要根據(jù)題目來(lái)考慮，不同的情況采用不同的方法，不能機(jī)械地使用某種特定的方法，并對(duì)具體的題目要注意去觀察，有時(shí)解題也可多種方法混合使用，要學(xué)會(huì)去靈活運(yùn)用。</p><p><b>　　致 謝 </b></p&

64、gt;<p>　　本文承蒙易奇志老師的指導(dǎo)及許多同學(xué)的幫助，謹(jǐn)此致謝！</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].第三版.北京：高等教育出版社,2001.</p><p>　　[2] 吳良森，毛羽輝.數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解(多變量部分)[M].北京：科學(xué)出版社，2

65、004.</p><p>　　[3] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè)) [M].第四版. 北京：高等教育出版社，2003.</p><p>　　[4] 李成章，黃玉民.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].南京：科學(xué)出版社，2003.</p><p>　　[5] 費(fèi)定暉，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2005.</p><

66、p>　　[6] 陳傳章，金福臨，朱學(xué)炎等.數(shù)學(xué)分析 [M].第二版.北京：高等教育出版社，2000.</p><p>　　[7] 張?jiān)僭疲愊鏃?，丁衛(wèi)平，etal.極限計(jì)算的方法與技巧[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，（22），16-17.</p><p>　　[8] 張筑生.數(shù)學(xué)分析新講（第二冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.</p><p&g