基于徑向基神經網(wǎng)絡的無網(wǎng)格法及其應用.pdf

1、無網(wǎng)格法的初衷是為了追蹤物理量的局部高梯度變化，其顯著特征是近似場函數(shù)構造不依賴于網(wǎng)格，并且數(shù)值積分網(wǎng)格與場函數(shù)構造方式無關。無網(wǎng)格法在彈塑性大變形、動態(tài)裂紋發(fā)展、沖擊碰撞、流體力學等領域取得了很大的成功，受到眾多研究人員重視，是計算力學的又一重要發(fā)展。 研究表明，即使在近似場函數(shù)有較高精度的情況下，近似場函數(shù)的導數(shù)也會產生局部數(shù)值震蕩，極值點會發(fā)生相移。近似場函數(shù)導數(shù)的局部震蕩和相移會對追蹤局部物理量變化產生不利影響，導致數(shù)值

2、計算結果的可靠性降低。另外，無網(wǎng)格法計算工作量大，計算效率低下，不利于大規(guī)模數(shù)值問題求解。 神經網(wǎng)絡具有結構自適應確定、輸出與初始權值無關及非線性收斂特征，徑向基神經網(wǎng)絡逼近原理實質是無網(wǎng)格法思想。將基于優(yōu)化思想的神經網(wǎng)絡算法用于構造近似場函數(shù)，可得到具有亞插值特性的近似場函數(shù)。 論文分析了產生近似導數(shù)數(shù)值局部震蕩和相移的原因，討論了影響無網(wǎng)格法計算量的因素。提出通過改進近似場函數(shù)的構造方式，提高近似場函數(shù)導數(shù)的精度，消

3、除近似導數(shù)數(shù)值震蕩和相移。利用基本解降低計算維數(shù)，賦予形函數(shù)Kronecker δ函數(shù)性質，方便施加邊界條件，減少數(shù)值計算工作量。 文中提出了兩種消除近似導數(shù)數(shù)值局部震蕩和相移的方法。 方法之一是將近似場函數(shù)和近似場函數(shù)的導數(shù)分別看作是獨立變量，按照相同的方式分別構造近似場函數(shù)和近似場函數(shù)的導數(shù)，得到具有相同構造精度的函數(shù)。通過張量積的方式產生二維激勵函數(shù)，構造直接徑向基神經網(wǎng)絡，依據(jù)混合變分原理建立系統(tǒng)控制方程，形成了

4、基于張量積的徑向基神經網(wǎng)絡無網(wǎng)格法。適當選擇激勵函數(shù)，這種類型的無網(wǎng)格法不需要作數(shù)值積分，只要存儲少量的計算基矩陣，就能在規(guī)則域上獲得高精度的數(shù)值解。對不規(guī)則域，適當?shù)臄?shù)值處理也可求得滿意的結果。 方法之二是利用誤差在數(shù)學運算過程中的傳播規(guī)律，構造積分形式的激勵函數(shù)，得到高精度的近似導數(shù)。函數(shù)誤差在微分過程中將進一步劣化，而在積分過程中光順鈍化。首先構造函數(shù)的高階導數(shù)，通過不定積分得到帶有權參數(shù)的新激勵函數(shù)，用積分形式的激勵函數(shù)

5、構造間接徑向基神經網(wǎng)絡，顯著地提高了場函數(shù)導數(shù)和場函數(shù)的近似精度，有效地消除了近似場函數(shù)導數(shù)出現(xiàn)的局部震蕩和相移現(xiàn)象。 文中采取兩種方法減少計算工作量。 第一種方法是利用間接邊界型數(shù)值方法思想，提出了無網(wǎng)格虛邊界法。邊界型數(shù)值方法通過引入基本解，降低待求問題復雜程度，減少數(shù)值計算工作量。在無網(wǎng)格虛邊界法中，虛邊界始終不與真實邊界相交，消除了其它邊界型方法中存在的奇異積分和邊界效應。虛邊界幾何形態(tài)簡單靈活，與實邊界的間距在

6、較大范圍內變化時，保持數(shù)值結果穩(wěn)定收斂。無網(wǎng)格虛邊界法計算不需要真實邊界的外法線方向導數(shù)，不存在其它邊界型方法中必須處理的角點問題。二維彈性力學的應用表明，在無論是簡單域，還是復連通域，無網(wǎng)格虛邊界法都能獲得快速穩(wěn)定的收斂結果。在物理量梯度變化較大的點，無網(wǎng)格虛邊界法能高精度地給出結果，準確地反映出物理量的變化。 第二種方法是將邊界節(jié)點鄰近的激勵函數(shù)進行線性組合，得到便于施加邊界條件的擴展激勵函數(shù)，消除了控制方程中的邊界處理項，