基于減基法的結構力學響應的快速計算方法研究.pdf

1、在科學研究和工程應用中，針對實際的結構響應分析問題，一般都是將連續(xù)結構系統通過一定的數值方式變?yōu)槎嘧杂啥鹊碾x散結構系統。隨著研究問題規(guī)模的擴大，對結構離散得到的自由度數就會增多，從而利用計算機通過常規(guī)方法進行結構響應分析的實時性就會降低。在此背景下，關于大規(guī)模結構系統響應的快速計算研究成為了一個值得關注的熱點問題，而減基法在工程快速計算領域占據著重要的位置并發(fā)揮著相應重要的作用。
　　減基法的基本概念是利用參數域中參數樣本點對應的

2、響應構建減基空間，將原大規(guī)模結構系統通過一定合理的方式投影或者映射到減基空間中形成減縮模型，進而快速獲得結構響應的逼近解。利用減基法快速計算結構靜力響應的理論已經基本確立，但在工程應用中仍存在一些問題有待解決；同時，關于減基法快速分析結構動力響應問題的研究目前還尚不成熟。本文基于減基法概念從不同途徑提出了三種快速計算結構動力響應的方法，同時還進一步完善了基于減基法的結構靜力響應快速分析方法，主要工作如下：
　　1)從結構動力學方程

3、入手，設計了一種快速求解結構動力響應的方法。針對參數樣本點對應的動力響應，通過時間域積分構建三個不同的減基空間，利用時間域積分和最小二乘原理將原結構動力學方程同時在此三個不同的減基空間進行投影降階，形成與時間因素無關的縮減的線性方程，求解該低階線性方程得到權系數向量，進而在減基空間中回代權系數向量并通過線性組合方式得到結構動力響應的逼近解；該方法在保持高精度的同時極大地提高了動力響應的求解效率。
　　2)針對結構模態(tài)分析問題，提出

4、了一種快速計算模態(tài)固有特征值和固有振型的方法。針對單階的模態(tài)，該方法首先利用參數樣本點對應的特征向量形成相應的特征向量減基空間；利用Galerkin映射方法在減基空間中得到一個減縮的計算模型，進而快速求解獲得結構的逼近特征值；利用剩余差向量的2-范數優(yōu)化問題以及矩陣中的Rayleigh-Ritz定理在減基空間中得到另一個減縮的計算模型，結合已經求解得到的逼近特征值進而快速獲得結構的逼近特征向量；最后將單階模態(tài)問題的計算流程進行簡單結合，

5、從而得到多階模態(tài)問題的計算流程。
　　3)從結構動力響應恢復的角度出發(fā)，設計了一種快速恢復結構動力響應的方法。該方法首先在結構系統的參數域采集參數樣本點，并計算對應的動力響應形成減基空間；在構建的減基空間中利用線性插值原理形成與參數無關的插值矩陣；在輸出響應中采集與參數樣本點數量一致的輸出響應點，通過插值矩陣求出權系數向量，進而在減基空間中快速恢復出結構的動力響應逼近解；同時相應地還提出了一種有效的時間節(jié)點選擇算法，該選擇算法能夠

6、使數值計算過程中所致的誤差最小。該方法具有采點少、精度高、計算快捷等優(yōu)點。
　　4)提出了一種針對減基法計算結構靜力響應的擾動分析方法。該方法通過對已有的減基方程進行形式變換得到新的減基方程，確保其響應在2-范數條件下具有不變性，進而通過一系列范數意義上的不等式推導，將減基方程在整個參數域上的擾動響應相對偏差的界定變成一個與減基剛度矩陣條件數有關的非線性優(yōu)化問題的求解。同時，該方法還給出了減基方程針對整個參數域所能承受的最大擾動范

7、數比。
　　5)針對結構靜力響應問題，提出了一種改進的減基法。該方法針對用于構建減基空間的位移響應基矩陣，利用向量子空間夾角的觀點進行奇異性判別，并對其中出現奇異的基進行刪除。為了進一步提高數值計算精度，對保留下的位移響應基進行了約化的QR分解，并通過Galerkin映射將原結構靜力方程投影到分解后的列正交矩陣形成減縮方程進行求解。該方法相對改進前的減基法提高了計算精度。
　　在研究過程中，本文所提的方法都經過了算例的驗證，