微積分ii全書整理

1、第一部分第一部分多變量微分學多變量微分學一、多元函數極限論一、多元函數極限論1.多元函數極限的定義：（1）鄰域型定義：設函數的定義域為，是的聚點，如果存在常數，對于)(PfD0PDA任意給定的正數，總存在正數，使得當點時，都有，??)(0PUDP???????APf)(那么就稱常數為函數當時的極限，記作A)(Pf0PP?.)(lim0APfPP??（2）距離型定義：設函數的定義域為，是的聚點，如果存在常數，對于)(PfD0PDA任意給定

2、的正數，總存在正數，使得當點，且時，都有??PD?????)(00PP，那么就稱常數為函數當時的極限，記作???APf)(A)(Pf0PP?.)(lim0APfPP??注：①這里給出的是數學分析中國際通用的定義，已自然排除了鄰域內的無定義點；0P②極限存在的充要條件：點在定義域內以任何方式或途徑趨近于時，都有極限；P0P)(Pf③除洛必達法則、單調有界原理、窮舉法之外，可照搬一元函數求極限的性質和方法，常用的有：等價無窮小替換、無窮小有

3、界量=無窮小、夾擠準則等；④若已知存在，則可以取一條特殊路徑確定出極限值；相反，如果發(fā)現點以)(lim0PfPP?P不同的方式或途徑于時，區(qū)域不同的值，則可斷定不存在.0P)(Pf)(lim0PfPP?⑤二元函數的極限記為或.Ayxfyxyx??)(lim)()00（Ayxfyyxx???)(lim002.多元函數的連續(xù)性：設函數的定義域為，是的聚點，如果，且有)(PfD0PD0PD?，則稱在處連續(xù)；如果在區(qū)域的每一點處都連續(xù)，)()(

4、lim00PfPfPP??)(Pf0P)(PfE則稱在區(qū)域上連續(xù).)(PfE注：①如果，只稱“不連續(xù)”，而不討論間斷點類型；)()(lim00PfPfPP??②在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數擁有和一元函數類似的性質，如有界性定理、一致連續(xù)性定理、最大值最小值定理、介值定理等.3.二重極限與累次極限累次極限與二重極限的存在性之間沒有任何必然的聯(lián)系，但若某個累次極限和二重極限都存在，則它們一定相等；反之，若兩個累次極限存在而不相等，則二重極限一定

5、不存在，又若兩個累次極限存在且相等，稱累次極限可以交換求極限的順序.③嚴格遵守用位置表示偏導數的規(guī)則，注意避免符號混亂和歧義；④對于求高階偏導數的問題，不論對誰求導，也不論求了幾階導，求導后的新函數仍具有與原來函數相同的復合結構（注意若偏導連續(xù)則相等，要合并同類項）.（2）全微分形式不變性：僅一階全微分可以使用，高階全微分不再成立.（3）隱函數存在性及求導法則：①一個方程的情形（以三個變量為例）：設在點某鄰域內偏導連續(xù)，)(zyxF)(

6、000zyx且，，則方程在點內某鄰0)(000?zyxF0)(000?zyxFz0)(?zyxF)(000zyx域內可唯一確定單值函數，這個函數在的某鄰域內具有連續(xù)的偏導數，)(yxzz?)(00yx且，.結論不難推廣到一般情形.zxFFxz????zyFFyz????②方程組的情形：一般地，設方程組可確)21(0)(2121miuuuxxxFmni?????定個元函數.當雅可比行列式mn)(21niixxxuu??0)()(11112

7、212121112121???????????????????????mmmmmmmuFuFuFuFuFuFuFuFuFuuuFFFJ????????時，可以確定，其中由將分母中的第個元素替換成JJxuji??????J)()(2121mmuuuFFFJ?????i得到.（雅可比行列式在橫向上改變各自變量，縱向上改變各函數名稱）jx注：①求導前應事先判斷，個變元，個方程可確定個元函數；abb)(ab?②有些比較簡單的問題不必使用此通法，